第2章 第4节 函数的奇偶性、周期性与对称性-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第四节　函数的奇偶性、周期性与对称性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.　 2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　 3.会依据函数的性质进行简单的应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有 －x∈D，且_____________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于_______对称 奇函数 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有 －x∈D，且_______________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于_______对称 f (－x)＝f (x) y轴 f (－x)＝－f (x) 原点 知识梳理 知识点一　函数的奇偶性 5 1.周期函数 设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数，非 零常数T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个_________的正数，那么这 个___________就叫做f (x)的最小正周期. f (x±T)＝f (x) 最小 最小正数 知识梳理 知识点二　函数的周期性 6 3.函数的对称性 (1)若f (x＋a)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴为_________；若f (x＋ a)是奇函数，则函数f (x)图象的对称中心为_________. (2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝f (a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数的图象关于点_________对称. x＝a (a，0) (a，0) 知识梳理 知识点二　函数的周期性 7 4.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于_________对称； (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于_________对称； (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于_________对称. y轴 x轴 原点 知识梳理 知识点二　函数的周期性 8 1.(多选)下列函数为偶函数的是( 　　) A.y＝x2sin x　　　　　　 B.y＝x2cos x C.y＝ln|x| D.y＝2－x 解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x)＝f (x)，且定义域关于原点对称，所以A为奇函数；B，C为偶函数；D既不是奇函数，也不是偶函数. BC 自我评价 9 2.已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x) ＝x2＋1，则f (2 024.5)等于(　　) A. B. C.2 D.1 解析：由f (x＋2)＝f (x)可知，函数f (x)的周期为2， 当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2＋1， ∴f (2 024.5)＝f ＝f ＋1＝. B 自我评价 10 3.函数f (x)＝的图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 解析：因为f (x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称， 所以f (x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称. B 自我评价 11 4.已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x(1＋x)，则 f (－1)＝__________.  解析：f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. －2 自我评价 12 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x)是偶函数，则f (－x)＝f (x)＝f (|x|). 2.函数周期性的常用结论 对于f (x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 常用结论 13 3.函数图象对称性的常用结论 (1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b，0)中心对称. 常用结论 14 关键能力　重点探究 15 角度1　函数奇偶性的判断 [例1]　(多选)下列奇偶性判断，错误的是(　 　) A.f (x)＝是奇函数 B.f (x)＝是非奇非偶函数 C.f (x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]是偶函数 D.f (x)＝是奇函数 ABC 考点一　函数的奇偶性 16 [解析]　对于A，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f (x)既不是奇函数，又不是偶函数，A错； 对于B，f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称， f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x)既是奇函数，又是偶函数，B错； 对于C，因为f (x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]的定义域 不关于原点对称，所以f (x)是非奇非偶函数，C错； 考点一　函数的奇偶性 17 对于D，方法一(定义法)： 当x＞0 时，f (x)＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f (－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f (x)； 当x＜0 时，f (x)＝x2＋2x－1， －x＞0，f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f (x)， 所以f (x) 为奇函数，D正确. 法二(图象法)： 作出函数f (x) 的图象，由奇函数的 图象关于原点对称的特性知函数f (x) 为奇函数. 考点一　函数的奇偶性 18 角度2　函数奇偶性的应用 [例2]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝2 B.已知函数f (x)＝为奇函数，则a＝1 C.已知函数f (x)＝2x－＋5，若f (m)＝4，则f (－m)＝－4 D.已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f (x)＝＋2x－1，则当x≥0时，f (x)＝－ex＋2x＋1 AD 考点一　函数的奇偶性 19 [解析]　对于A，法一：由题意知f (x)的定义域为R， ∵f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝x2＋(a－2)x＋cos x＋1， ∴f (－x)＝(－x)2＋(a－2)(－x)＋cos(－x)＋1＝x2－(a－2)x＋cos x＋1. ∵f (x)为偶函数，∴f (x)＝f (－x)， 即x2＋(a－2)x＋cos x＋1＝x2－(a－2)x＋cos x＋1， 即(a－2)x＝－(a－2)x， ∴a－2＝0，∴a＝2. 考点一　函数的奇偶性 20 法二：由题意知f (x)的定义域为R. ∵函数f (x)是偶函数，∴f (－1)＝f (1)， ∴4－a＋cos 1＝a＋cos 1，∴a＝2. 检验当a＝2时符合题意，∴a＝2，A正确. 对于B，由题意知f (－x)＝－f (x)，即＝－，整理得＝1， ∴ 解得a＝－1，B错. 考点一　函数的奇偶性 21 对于C，由题意知，函数f (x)的定义域为R，关于原点对称， 设g(x)＝f (x)－5＝2x－2－x， 则g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)， 即g(x)是奇函数， 故g(m)＋g(－m)＝0， 即f (m)－5＋f (－m)－5＝0， 即f (m)＋f (－m)＝10. ∵f (m)＝4， 考点一　函数的奇偶性 22 ∴f (－m)＝6，C错. 对于D，∵f (x)是定义在R上的奇函数， 则当x＝0时，f (0)＝0. 当x＞0时，－x＜0，f (x)＝－f (－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1. 又f (0)＝－e0＋2×0＋1＝0， 则当x≥0时，f (x)＝－ex＋2x＋1，D正确. 考点一　函数的奇偶性 23 1.利用函数的奇偶性可以求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.利用函数的奇偶性可以画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 方法总结 24 1.设函数f (x)＝，则下列函数中为偶函数的是(　　) A.f (x＋1)　　　　　　　　 B.f (x)＋1 C.f (x－1) D.f (x)－1 解析：f (x)＝，则f (x＋1)＝. 因为y＝是偶函数，所以f (x＋1)为偶函数. B，C，D既不是奇函数，也不是偶函数. A 跟踪训练 25 2.(2025·辽宁沈阳模拟)函数y＝xf (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若关于实数t的不等式f (log3t)＋f (lot)＞ 2f (2)恒成立，则t的取值范围是(　　) A.∪(3，＋∞) B. C.(9，＋∞) D.∪(9，＋∞) D 跟踪训练 26 解析：因为函数y＝xf (x)是定义在R上的奇函数， 所以－xf (－x)＝－xf (x)，当x≠0时，f (－x)＝f (x)，又f (0)有意义，所以f (x)是定义域R上的偶函数. 又因为f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以f (log3t)＋f (lot)＝f (log3t)＋f (－log3t)＝2f (log3t)＞2f (2)，所以 f (log3t)＞f (2)， 即f (|log3t|)＞f (2)，则|log3t|＞2， 则log3t＞2或log3t＜－2，解得t＞9或0＜t＜， 所以t的取值范围是∪(9，＋∞). 跟踪训练 27 3.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数 和奇函数，f (x)＋g(x)＝2·3x，则函数f (x)＝__________.  解析：因为f (x)＋g(x)＝2·3x，所以f (－x)＋g(－x)＝2·3－x.又f (x)， g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋g(－x)＝f (x)－g(x)＝2·3－x，则 两式相加得，2f (x)＝2·3x＋2·3－x，所以f (x)＝3x＋3－x. 3x＋3－x 跟踪训练 28 [例3]　(2025·江苏宿迁模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x) ＝f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝2x－1，则f (log212)＝(　　) A.－ B.－ C. D. A 考点二　函数的周期性 29 [解析]　∵f (x)是R上的奇函数， ∴f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)， 即f (x)＝－f (2＋x)， ∴f (2－x)＝－f (2＋x)， ∴f (x－2)＝f (x＋2)， ∴f (x＋4)＝f (x＋2＋2)＝f (x＋2－2)＝f (x)， 于是函数f (x)是周期为4的周期函数， 而8＜12＜16，则3＜log212＜4，－1＜log212－4＜0.又当0≤x≤1时， f (x)＝2x－1， ∴f (log212)＝f (log212－4)＝f ＝－f ＝－(－1)＝－. 考点二　函数的周期性 30 设f (x)是定义域为R的偶函数，且f (2＋x)＝f (－x)，f ，则f 等于(　　) A.－ B.－ C. D. 解析：因为f (x)是定义域为R的偶函数， 所以f (－x)＝f (x)， 故f (2＋x)＝f (－x)＝f (x)， 所以f (x)的一个周期为2， 故f ＝f ＝f ＝f . C 跟踪训练 31 [例4]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　 　) A.函数f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B.函数f (x)满足f (2x－1)为奇函数，则函数f (x)关于点(－1，0)中心对称 C.若函数y＝f (x)过定点(0，1)，则函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2) D.函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 ABC 考点三　函数的对称性及应用 32 [解析]　对于A，f (x)＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f (2x－1)为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，所以f (x－1)＝－f (－x－1)， 所以f (x)＝－f (－x－2)，所以函数f (x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 考点三　函数的对称性及应用 33 对于C，函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x－1)＋1的图象，由于y＝f (x)过定点(0，1)，故函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得 所以b＋c＝4，D不正确. 考点三　函数的对称性及应用 34 (2)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于 (　　) A.－4 B.0 C.4 D.8 [解析]　由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. D 考点三　函数的对称性及应用 35 1.函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (a－x)＝f (a＋x)； 若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称. 2.函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－ f (x)＝f (2a－x)； 若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点中心对称. 方法总结 36 1.已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)为偶函数，f (x)在[2，＋∞)上 单调递减，则不等式f (－x2)＞f (－1)的解集为__________.  解析：∵f (x＋2)是偶函数， ∴f (x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f (x)的图象关于直线x＝2对称. 又f (x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f (x)在(－∞，2]上单调递增. 又－x2，－1∈(－∞，2]，f (－x2)＞f (－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1， ∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1，1). (－1，1) 跟踪训练 37 2.定义在R上的偶函数f (x)满足f (1＋2x)＋f (1－2x)＝6，则f (1)＝__________；f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝__________.  解析：因为f (1＋2x)＋f (1－2x)＝6， 令x＝0可得，f (1)＋f (1)＝6，所以f (1)＝3. 函数f (x)为偶函数，则f (x)＝f (－x). 因为f (1＋2x)＋f (1－2x)＝6，所以f (t)＋f (2－t)＝6，则f (t＋2)＋f (－t)＝6. 3 6 075 跟踪训练 38 又f (t)＝f (－t)，所以f (t＋2)＋f (t)＝6，则有f (t＋2)＝f (t－2)， 因此可得f (x＋4)＝f (x)，故函数f (x)是周期为4的函数. 在f (1＋2x)＋f (1－2x)＝6中，令x＝1可得f (3)＋f (－1)＝6. 又f (－1)＝f (1)＝3，所以f (3)＝3， 令x＝可得f (2)＋f (0)＝6.又f (4)＝f (0)，所以f (2)＋f (4)＝6， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3＋6＋3＝12， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025) ＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×506＋f (1)＝12×506＋3＝6 075. 跟踪训练 39 课时作业　巩固提升 40 1.已知函数y＝f (x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f (－x)的图象 必过点(　　) A.(－1，2)　　　　　　　 B.(1，2) C.(－1，－2) D.(－2，1) 解析：函数y＝f (x) 与y＝－f (－x) 的图象关于原点对称，又y＝f (x) 的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f (－x) 的图象必过点(－1，2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 41 2.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f (x)＝x3－sin x＋b＋2，则f (a)＋ f (b)＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：依题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f (0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f (a)＋f (b)＝f (2)＋f (－2)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 42 3.已知f (x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f (x)＝2x－.若f (2)＋f (0) ＝1，则f (－3)＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.1 解析：因为f (x) 是R上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为f (2)＋f (0)＝1，所以f (2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f (x)＝2x－(x＞0)，所以f (－3)＝ －f (3)＝－＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 43 4.已知函数f (x)＝－x2＋bx＋c，且f (x＋1)是偶函数，则f (－1)，f (1)， f (2)的大小关系是(　　) A.f (－1)＜f (1)＜f (2) B.f (1)＜f (2)＜f (－1) C.f (2)＜f (－1)＜f (1) D.f (－1)＜f (2)＜f (1) 解析：因为f (x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f (x)的对称轴为直线x＝1. 又二次函数f (x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f (－1)＜f (2)＜f (1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 44 5.已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)与y＝f (4－x) 的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 解析：设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f (x＋2)与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 45 6.已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)＝xf (x).若a＝g(－log25.1)，b＝ g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：取f (x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，然后进行判断可知b＜a＜c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 46 7.已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2]上单调递减，且f (x＋2)为偶函 数，则不等式f (x－1)＞f (2x)的解集为(　　) A.∪(6，＋∞) B.(－∞，－1)∪ C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 47 解析：∵函数f (x＋2)为偶函数，∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，即f (2－x)＝ f (2＋x)， ∴函数f (x)的图象关于直线x＝2对称. 又函数f (x)定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，∴函数f (x)在区间(2，＋∞)上单调递增， 由f (x－1)＞f (2x)得，|(x－1)－2|＞|2x－2|，解得x∈. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 48 8.(多选)设函数f (x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　 　) A.f (x)在(0，＋∞)上单调递增 B.f (x)为奇函数 C.f (x)的图象关于直线x＝1对称 D.f (x)的图象关于点(1，0)对称 解析：∵f (x)＝2x－1＋21－x， ∴f (2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f (x)， 即f (x)＝f (2－x)， 即f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误； ∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x)不是奇函数，故B错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD A组　基础保分练 49 9.(多选)已知定义在R上的奇函数f (x)对∀x∈R都有f (x＋2)＝－f (x)，则 下列判断正确的是(　 　) A.f (x)是周期函数且周期为4 B.f (x)的图象关于点(1，0)对称 C.f (x)的图象关于直线x＝－1对称 D.f (x)在[－4，4]上至少有5个零点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ACD A组　基础保分练 50 解析：对于A，因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x) 的周期为4，故A正确；对于B，因为f (x＋2)＝－f (x)，且 f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋2)＝f (－x)，所以f (x) 的图象关于直线x＝1 对称，故B错误；对于C，因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x)＝－f (x－2)，又因为f (－x)＝－f (x)，所以f (x－2)＝f (－x)，所以f (x) 的图象关于直线x＝－1 对称，故C正确；对于D，因为f (x)为R上的奇函数且周期为4，必有f (0)＝0，在[－4，4] 上，f (4)＝f (0)＝0，f (－4)＝f (0)＝0，又由 f (x＋2)＝－f (x)，得f (2)＝－f (0)＝0，f (－2)＝－f (2)＝0，则f (x) 在 [－4，4] 上至少有5个零点，故D 正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 51 10.设f (x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈(－1，1]时，f (x)＝其中m∈R.若f ＝f ，则m的值是__________.  解析：由题意得，f ＝f ＋2×＋m＝－＋m， f .因为f ＝f ，所以＝－＋m，解得m＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 1 A组　基础保分练 52 11.写出一个同时满足条件：①f (x＋2)＝f (x)，②f (1－x)＝f (1＋x)的非 常数函数.则f (x)＝__________.  答案：cos πx 解析：因为f (x＋2)＝f (x)，f (1－x)＝f (1＋x)， 所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1， 故可取函数f (x)＝cos πx. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 53 12.若函数f (x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f (x＋1)＝f (x－1)，当x∈[0，1]时，f (x)＝2 x－1，且a＝f ，b＝f (0.5 －3)，c＝ f (0.76)，则a，b，c的大小关系为__________.  解析：∵f (x)是定义在R上的偶函数，且恒有f (x＋1)＝f (x－1)， ∴f (x)＝f (－x)，f (x＋2)＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为2， ∴a＝f ＝f ＝f ，b＝f (0.5－3)＝f (8)＝f (0)，又0＜0.76＝0.493＜0.53＜0.5， 且f (x)＝2 x－1在[0，1]上单调递增， ∴b＜c＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 b＜c＜a A组　基础保分练 54 13.设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x).当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2. (1)求证：f (x)是周期函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 证明：∵f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x). ∴f (x)是周期为4的周期函数. A组　基础保分练 55 (2)计算：f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：∵f (x)为R上的奇函数，∴f (0)＝0. 又f (x＋2)＝－f (x)， 令x＝0得f (2)＝－f (0)＝0. 又f (1)＝1， 令x＝1得f (3)＝－f (1)＝－1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0. 又f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025) ＝[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]×506＋f (2 024)＋f (2 025) ＝f (2 024)＋f (2 025) ＝f (0)＋f (1)＝1. A组　基础保分练 56 14.(多选)已知函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，且f (1－x)＝f (1＋x)， 则( 　　) A.f (0)＝f (2) B.f (－1)＜f (4) C.f (2x＋1)＜f (1) D.f (x＋1)为偶函数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD B组　能力提升练 57 解析：由f (1－x)＝f (1＋x)知，函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f (0)＝f (2)，故A正确； 又f (x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (x)在(－∞，1]上单调递减， 因为f (x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f (－1)＝f (3)＜f (4)，故B正确； 因为1＜2x＋1，f (x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (1)＜f (2x＋1)，故C错误； 因为函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， 所以函数f (x＋1)的图象关于直线x＝0对称， 即函数f (x＋1)的图象关于y轴对称， 所以f (x＋1)为偶函数，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 58 15.已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (－x)，设函数f (x)与函数y＝的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则(xi＋yi)的 值为__________.  解析：∵函数f (x)是奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)， 则f (2－x)＋f (x)＝0， ∴函数f (x)的图象关于点(1，0)对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 n B组　能力提升练 59 ∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的， ∴函数y＝的图象关于点(1，0)对称， ∴函数f (x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1，0)对称， ∴(xi＋yi)＝xi＋yi＝2×＋0×＝n. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 60 16.设函数f (x)是R上的增函数，对任意x，y∈R，都有__________.在①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， ②yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)中任选一个条件，然后解答以下问题.  (1)求f (0)； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 若选①：解：由函数y＝f (x)对任意x，y∈R都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， 得函数的定义域为R，令x＝y＝0，可得f (0)＝0. 若选②：解：对任意x，y∈R，都有yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)， 令x＝1，y＝0，可得0－f (0)＝0，即f (0)＝0. B组　能力提升练 61 (2)求证：f (x)是奇函数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 若选①：证明：令y＝－x，可得f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即0＝f (x)＋ f (－x)， ∴f (－x)＝－f (x)，因此，函数y＝f (x)为奇函数. 若选②：证明：对任意x，y∈R，都有yf (x)－xf (y)＝xy(x2－y2)， 令y＝－x，可得－xf (x)－xf (－x)＝－x2(x2－x2)， 可得－x[f (x)＋f (－x)]＝0，由x∈R，可得f (－x)＝－f (x)， 故f (x)为奇函数. B组　能力提升练 62 (3)若f (x2＋1)＋f (3x－5)＜0，求实数x的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 若选①：解：奇函数f (x)是R上的增函数， 由f (x2＋1)＋f (3x－5)＜0，即f (1＋x2)＜f (5－3x)， 即有1＋x2＜5－3x，解得－4＜x＜1. 所以实数x的取值范围为(－4，1). 若选②：解：奇函数f (x)是R上的增函数， 由f (x2＋1)＋f (3x－5)＜0，即f (1＋x2)＜f (5－3x)， 即有1＋x2＜5－3x，解得－4＜x＜1. 所以实数x的取值范围为(－4，1). B组　能力提升练 63 $$