第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第一节　函数的概念及其表示 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.了解函数的含义.　 2.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.函数的概念 给定两个__________集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的________实数x，在集合B中都有________的实数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：________、__________、________. (2)如果两个函数的__________相同，并且________相同，那么这两个函数是同一个函数. 非空实数 每一个 唯一 定义域 对应关系 值域 对应关系 定义域 知识梳理 知识点　函数的概念与分段函数 5 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和________. 4.分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数. 解析法 列表法 知识梳理 知识点　函数的概念与分段函数 6 1.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( 　　) ACD 自我评价 7 2.下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A.y＝ B.y＝＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 B 自我评价 8 3.函数f(x)＝的定义域是______________________.  (－∞，0)∪(0，1] 自我评价 9 4.已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是__________________.  f(x)＝x2＋6x 自我评价 10 关键能力　重点探究 11 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝与g(x)＝x表示同一函数 B.函数f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域为(1，3) C.f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D.若f(x)＝|x－1|－x，则f＝0 AC 考点一　函数的概念 12 [解析]　对于A，函数f(x)＝＝x的定义域为R，函数g(x)＝x的定义域为R，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B，要使函数有意义，则 解得1≤x＜3， 所以函数的定义域为[1，3)，故B错误； 对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f＝0，所以f＝f(0)＝1，故D错误. 考点一　函数的概念 13 (2)若函数f(x)的定义域为[－2，4]，则函数y＝的定义域为(　　) A.(1，8] B.[－4，1)∪(1，8] C.(1，2] D.[－1，1)∪(1，2] [解析]　由题意得 解得－1≤x≤2且x≠1.故y＝的定义域为[－1，1)∪(1，2]. D 考点一　函数的概念 14 1.两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略. 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. 方法总结 15 1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝，g(x)＝()2 B.f(x)＝－1，g(x)＝ C.f(x)＝g(t)＝|t| D.f(x)＝x＋1，g(x)＝ C 跟踪训练 16 解析：对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数. 跟踪训练 17 2.已知函数f(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(x－1)的定义域为_________.  解析：由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4， 所以函数f(x－1)的定义域为[－1，4]. [－1，4] 跟踪训练 18 [例2]　(1)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，求f(x)的解析式； [解]　(配凑法)∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f(x)＝x2－7x＋14. 考点二　求函数的解析式 19 (2)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； [解]　(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t. ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). 考点二　求函数的解析式 20 (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； [解]　(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴ 解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). 考点二　求函数的解析式 21 (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. [解]　∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①×2－②解得f(x)＝3x. 考点二　求函数的解析式 22 函数解析式的求法有(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)方程组法. 方法总结 23 1.已知f(－1)＝x－2，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝x2＋1(x≥－1) C.f(x)＝x2－1(x≥－1) D.f(x)＝x2＋1 解析：由f(－1)＝x－2＝(－1)2－1， 则f(x)＝x2－1(x≥－1). C 跟踪训练 24 2.f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝_____________________.  解析：已知2f(x)＋f＝3x－1，　① 以代替①中的x(x≠0)，得2f＋f(x)＝－1，　② ①×2－②，得3f(x)＝6x－－1，故f(x)＝2x－(x≠0). 2x－(x≠0) 跟踪训练 25 [例3]　(多选)(2025·江苏扬州期中)已知函数f(x)＝ 则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞，4] C.若f(x)＝2，则x的值是－ D.f(x)＜1的解集为(－1，1) BC 考点三　分段函数 26 [解析]　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x＜1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2＜1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＜1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)＜1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误. 考点三　分段函数 27 分段函数求值问题的解题思路 1.求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 方法总结 28 1.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A.2　　　　　　　　 B.9 C.65 D.513 解析：f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2. A 跟踪训练 29 2.(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2.若当x＞2时，f(x)＞0， 则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1]　　　　　 B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) 解析：f(x)＝当x＜a时，－x2＋ax－2a2＜0，∴2≥a. 当x≥a时，f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，在(2，＋∞)上f(x)＞0. ①当a＞0时，2a≤2，即0＜a≤1；②当a＝0时，f(x)＝x2＞0恒成立；③当a＜0时，－a≤2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1. B 跟踪训练 30 课时作业　巩固提升 31 1.下列所给图象是函数图象 的个数为(　　) A.1　　　 B.2 C.3 D.4 解析：①中，当x＞0 时，每 一个x 的值对应两个不同的y 值，不是函数图象；②中， 当x＝x0 时，y的值有两个， 不是函数图象；③④中，每 一个x 的值对应唯一的y 值， 是函数图象. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 32 2.已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 解析：令2x＋1＝3，得x＝1， 则f(3)＝2－1－3＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 33 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 3.(2025·江苏无锡期中)已知函数y＝g(x)的对应 关系如表所示，函数y＝f(x)的图象如图所示， 则g(f(1))的值为(　　) x 1 2 3 g(x) 4 3 －1 A.－1 B.0 C.3 D.4 解析：根据题意，由f(x)的图象可得f(1)＝3， 则g(f(1))＝g(3)＝－1. A A组　基础保分练 34 4.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－2，4] B.(－4，－2] C.[－2，4) D.[－4，－2] 解析：要使原函数有意义，则解得－2≤x＜4. ∴函数f(x)＝的定义域为[－2，4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 35 5.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝1，则a的值为(　　) A.1 B.0 C.－1 D.2 解析：因为f(f(0))＝f(－e0)＝f(－1)＝a(－1)2＝1，所以a＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 36 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)， 且当x＜3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)＞100 B.f(20)＞1 000 C.f(10)＜1 000 D.f(20)＜10 000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 37 解析：因为当x＜3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2. 因为f(x)的定义域为R，且f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)， 则f(3)＞f(2)＋f(1)＝3，f(4)＞f(3)＋f(2)＞5， f(5)＞f(4)＋f(3)＞8，f(6)＞f(5)＋f(4)＞13， f(7)＞f(6)＋f(5)＞21，f(8)＞f(7)＋f(6)＞34， f(9)＞f(8)＋f(7)＞55，f(10)＞f(9)＋f(8)＞89， f(11)＞f(10)＋f(9)＞144，f(12)＞f(11)＋f(10)＞233，f(13)＞f(12)＋f(11)＞377， f(14)＞f(13)＋f(12)＞610，f(15)＞f(14)＋f(13)＞987， f(16)＞f(15)＋f(14)＞1 597＞1 000，则依次下去可知f(20)＞1 000，则B正确； 且无证据表明A，C，D一定正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 38 7.(多选)已知函数f(x)＝则(　 　) A.f(f())＝3 B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C.f(x)＜2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D.若∀x∈R，a＞f(x)，则a≥3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 BCD A组　基础保分练 39 解析：对于A，因为f()＝－()2＋3＝0， 所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误； 对于B，当x＜1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确； 对于C，当x＜1时，由f(x)＜2，得x＋2＜2，解得x＜0，当x≥1时，由f(x)＜2，得－x2＋3＜2，解得x＞1，综上，f(x)＜2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确； 对于D，当x＜1时，x＋2＜3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a＞f(x)，所以a≥3，所以D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 40 8.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.函数y＝的定义域为(－1，0)∪(0，2] B.f(x)＝和g(x)＝x表示同一个函数 C.函数y＝的值域为 D.定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝＋1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ACD A组　基础保分练 41 解析：对于A，由已知可得即函数定义域为(－1，0)∪(0，2]，故A正确； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 42 对于C，因为x2＋3≥3，所以0＜，故函数y＝，故C正确； 对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1， 所以由 可得f(x)＝＋1，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 43 9.(多选)设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数x1，x2，使 得f，则称函数f(x)具有性质P.那么下列函数中， 具有性质P的函数为(　 　) A.f(x)＝ B.f(x)＝|x2－1| C.f(x)＝x3＋x D.f(x)＝2|x| 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ABC A组　基础保分练 44 解析：对于A，在函数f(x)的图象上取A(－1，－1)，B(0，0)，C(1，1)，有f(0)＝成立，故A正确；对于B，在函数f(x)的图象上取 A(－，1)，B(0，1)，C(，1)，有f(0)＝成立，故B正确；对于C，在函数f(x)的图象上取A(1，2)，B(0，0)，C(－1，－2)，有f(0)＝成立，故C正确；对于D，因为f(x)＝2|x|，所以≥≥＝f，又x1≠x2，所以f恒成立，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 45 10.已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a＝__________，f(2)＝__________.  解析：由题意得，f＝3×＋1＝3， 所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6， 所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 －5　 －6 A组　基础保分练 46 11.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是__________.  解析：根据题意作出函数f(x) 的大致图象如图所示， 结合图象知，满足f(x＋1)＜f(2x)，则 所以x＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (－∞，0) A组　基础保分练 47 12.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f，f ，f(－1)的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：∵＞1， ∴f＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1， ∴f＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. A组　基础保分练 48 (2)画出这个函数的图象； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：此分段函数的图象如图所示. 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象. A组　基础保分练 49 (3)求f(x)的最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. A组　基础保分练 50 13.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋2a)，则a的值为__________.  解析：当a＞0时，1－a＜1，1＋2a＞1，f(1－a)＝f(1＋2a)， 则2(1－a)＋a＝－(1＋2a)－2a，解得a＝－1，不符合a＞0，舍去， 当a＜0时，1－a＞1，1＋2a＜1，f(1－a)＝f(1＋2a)， 则－(1－a)－2a＝2(1＋2a)＋a，解得a＝－， 综上所述，a的值为－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 － B组　能力提升练 51 14.已知函数f(x)＝ (1)求f(f(－2))的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由函数f(x)＝ 可得f(－2)＝22＝4， 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5. B组　能力提升练 52 (2)求不等式f(x)≥2的解集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由不等式f(x)≥2，可得解得x≤－1或x≥1， 故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞). B组　能力提升练 53 $$