第2章 第4节 函数的奇偶性、周期性与对称性-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第四节　函数的奇偶性、周期性与对称性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义.　2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　3.会依据函数的性质进行简单的应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数  关于　　　　对称  奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数  关于　　　　对称  f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 知识梳理 知识点一　函数的奇偶性 1.周期函数 设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T为这个函数的周期.  2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个 　　　 　就叫做f(x)的最小正周期.  f(x±T)=f(x) 最小 最小正数 知识点二　函数的周期性 3.函数的对称性 (1)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为　　　　;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为　　　　.  (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称; 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点　　　　对称.  x=a (a,0) (a,0) 4.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于　　　　对称;  (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于　　　　对称;  (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于　　　　对称.  y轴 x轴 原点 1.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A.y=x2sin x　　　　　　 B.y=x2cos x C.y=ln|x| D.y=2-x 解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,所以A为奇函数;B,C为偶函数;D既不是奇函数,也不是偶函数. BC 自我评价 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1,则f(2 024.5)等于(　　) A. B. C.2 D.1 B 解析:由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2, 当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1, ∴f(2 024.5)=f=f=+1=. 3.(人A必修第一册P86T3改编)函数f(x)=的图象的对称中心为(　　) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) B 解析:因为f(x)==1+,由y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称, 所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. 4.(人A必修第一册P86T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=　　　　　.  解析:f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. -2 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). 常用结论 2.函数周期性的常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 3.函数图象对称性的常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 关键能力　重点探究 角度1　函数奇偶性的判断 [例1]　(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.y=　　　　　 B.y= C.y= D.y= B 考点一　函数的奇偶性 [解析]　对于A,设f(x)=,函数定义域为R,但f(-1)=,f(1)=,则f(-1)≠f(1),故A错误; 对于B,设g(x)=,函数定义域为R, 且g(-x)===g(x),则g(x)为偶函数,故B正确; 对于C,设h(x)=,函数定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 则h(x)不是偶函数,故C错误; 对于D,设φ(x)=,函数定义域为R,因为φ(1)=,φ(-1)=, 则φ(1)≠φ(-1),则φ(x)不是偶函数,故D错误. 高考溯源▶(人A必修第一册P86T5)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2+1; (2)f(x)=. 角度2　函数奇偶性的应用 [例2]　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a) ·ln 为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 B [解析]　f(-x)=(-x+a)ln = (-x+a)ln =(x-a)ln . ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴x+a=x-a,即a=0. (2)已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=ex,则=(　　) A. B. C. D. C [解析]　根据题意,f(x)-g(x)=ex, 则f(1)-g(1)=e　①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=,变形可得f(1)+g(1)=-　②,联立①②可得,f(1)=,g(1)=-,则有==. (3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex+x,则f(x)在R上 的解析式为f(x)=　　　 　　.  [解析]　由题意得,当x=0 时,f(0)=0, 当x<0 时,-x>0,则f(-x)=e-x-x.又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-e-x+x, ∴f(x)= 方法总结 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 2.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 跟踪训练 1.设函数f(x)=,则下列函数中为偶函数的是(　　) A.f(x+1) B.f(x)+1 C.f(x-1) D.f(x)-1 A 解析:f(x)==, 则f(x+1)=. 因为y=是偶函数,所以f(x+1)为偶函数. B,C,D既不是奇函数,也不是偶函数. 2.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,f(x)+g(x)=2·3x,则函数f(x)=　　　　　.  解析:因为f(x)+g(x)=2·3x,所以f(-x)+g(-x)=2·3-x.又f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(-x)+g(-x)=f(x) -g(x)=2·3-x,则 两式相加得,2f(x)=2·3x+2·3-x,所以f(x)=3x+3-x. 3x+3-x 3.已知函数f(x)=x3+2x,x∈(-2,2),则不等式f(2x-1)+f(x)>0的解集为 　　　　　.  解析:依题意,f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且为增函数, ∴f(2x-1)+f(x)>0, 可化为f(2x-1)>-f(x)=f(-x), 故解得<x<, ∴原不等式的解集为. [例3]　已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且周期为3,又 f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)的值是(　　) A.2 024 B.2 025 C.1 D.0 D 考点二　函数的周期性 [解析]　因为f(x)的周期为3, f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1. 又f(0)=-2,则f(3)=f(0+3)=f(0)=-2. 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称, 所以f(x)为偶函数, 故f(1)=f(-1)=1, 则f(1)+f(2)+f(3)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=675×0=0. 跟踪训练 设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(-x),f=,则f等于(　　) A.- B.- C. D. C 解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数, 所以f(-x)=f(x), 故f(2+x)=f(-x)=f(x), 所以f(x)的一个周期为2, 故f=f=f=f=. [例4]　(1)(多选)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　　) A.f(x+1)为偶函数 B.f(1+x)=f(1-x) C.f(1+x)+f(1-x)=0 D.f(1)=0 AB 考点三　函数的对称性及应用 [解析]　由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误. (2)(2025·江苏南京模拟)已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(2+x),其图象关于点(2,0)对称,f(2)=0,则f(18)=　　　　　.  0 [解析]　因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称, 所以f(-x)=-f(4+x). 又f(-x)=f(2+x), 所以f(x+2)+f(x+4)=0, 所以f(x)-f(x+4)=0,即f(x)=f(x+4), 所以函数f(x)的一个周期为4, 所以f(18)=f(2)=0. 方法总结 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. 2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称. 跟踪训练 1.(2025·湖南株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x3,则f等于(　　) A. B.- C. D.- A 解析:由函数f(x+1)为偶函数, 可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(2+x)=f(-x). 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x), 可得函数f(x)的周期为4, 所以f=f=-f=-=. 2.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且当x≥1时, f(x)=x2+mx+n,若f(-1)=-7,则3m+n等于(　　) A.7 B.2 C.-2 D.- C 解析:因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(3)=-f(-1),且当x≥1时,f(x)=x2+mx+n, 若f(-1)=-7,则f(3)=-f(-1)=7. 故f(3)=32+3m+n=7,即3m+n=-2. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(2025·四川绵阳模拟)下列函数中,既是奇函数,又在[0,1]上单调递减的是(　　) A.y=-sin x　　　　　　　 B.y=x3 C.y=x+ D.y=e|x| A A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由y=-sin x定义域为R且-sin(-x)=sin x,易知y=-sin x为奇函数. 又[0,1]⊆,故y=-sin x在[0,1]上单调递减,A符合; 由y=x3在[0,1]上单调递增,B不符合; 由y=x+定义域为{x|x≠0},显然区间[0,1]不满足定义域,C不符合; 由y=e|x|定义域为R且=e|x|,即y=e|x|为偶函数,D不符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)= 则g(-8)=(　　) A.-2 B.-3 C.2 D.3 解析:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析:函数y=f(x) 与y=-f(-x) 的图象关于原点对称,又y=f(x) 的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x) 的图象必过点(-1,2). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4,若f(-1)=-2,则f(20)-f(21)=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为f(x) 为定义在R上的奇函数且周期为4, 所以f(0)=0,f(20)-f(21)=f(0)-f(1)=-f(1)=f(-1)=-2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(2 024)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为2的周期函数, 所以f(2 024)=f(0)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x), ∴f(x)的周期为2. ∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增, f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1), ∴f(0)<f(0.5)<f(1), 即f(0)<f(-6.5)<f(-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点, 则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)), 所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上, 而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称, 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选)设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是(　 　) A.f(x)在(0,+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:∵f(x)=2x-1+21-x, ∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x) =21-x+2x-1=f(x), 即f(x)=f(2-x), 即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,A,D错误; ∵f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函数,故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且 f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y=f(x+4)为偶函数 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为f(2+x)=f(2-x),则f(x) 的图象关于直线x=2 对称,故A正确,B错误; 因为函数f(x) 的图象关于直线x=2对称, 则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x), 所以f(x+4)=f(x),所以f(x) 的周期为4,故C正确; 因为T=4 且f(x) 为偶函数, 故y=f(x+4) 为偶函数,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2025·四川成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)= -f(x),g(x)=f(x)-2为奇函数,则f(198)=　　　　　.  解析:∵g(x)为定义域为R的奇函数,∴g(0)=f(0)-2=0,解得f(0)=2. 由f(x+3)=-f(x)得f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(198)=f(33×6)=f(0)=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.写出一个同时满足条件:①f(x+2)=f(x),②f(1-x)=f(1+x)的非常数函数. 则f(x)=______________________________________________________ 　　　　　.  cos πx(形如acos πx+b或a+b或a|sin πx|+b或a+b等) 解析:因为f(x+2)=f(x),f(1-x)=f(1+x), 所以函数的周期T=2,函数的对称轴为直线x=1, 故可取函数f(x)=cos πx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1) 求证:f(x)是周期函数. 证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以f(x) 是周期为4的周期函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. 解:因为x∈[2,4],所以-x∈[-4,-2],所以4-x∈[0,2], 所以f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 因为f(4-x)=f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=-x2+6x-8, 即当x∈[2,4] 时,f(x)=x2-6x+8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 13.(多选)已知函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,且f(1-x)=f(1+x),则(　 　) A.f(0)=f(2) B.f(-1)<f(4) C.f(2x+1)<f(1) D.f(x+1)为偶函数 ABD B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:由f(1-x)=f(1+x)知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(0)=f(2),故A正确; 又f(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,1]上单调递减, 因为f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(-1)=f(3)<f(4),故B正确; 因为1<2x+1,f(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以f(1)<f(2x+1),故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以函数f(x+1)的图象关于直线x=0对称, 即函数f(x+1)的图象关于y轴对称, 所以f(x+1)为偶函数,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=　　　　　.  12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为函数y=f(x)-2为奇函数, 所以函数y=f(x)的图象关于点(0,2)对称. 又g(x)==+2, 其图象也关于(0,2)对称, 所以两函数图象交点关于(0,2)对称, 则y1+y2+…+y6=3×4=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2,求此函数图象的对称中心; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a,b),g(x)=f(x+a)-b, 则g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x), 故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b, 即f(-x+a)+f(x+a)=2b, 即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b. 整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0,故解得 所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1,-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 解: 推论:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设函数f(x)是R上的增函数,对任意x,y∈R,都有　　　　　.在①f=f+f, ②yf(x)-xf(y)=xy(x2-y2)中任选一个条件,然后解答以下问题.  (1)求f(0); (2)求证:f(x)是奇函数; (3)若f(x2+1)+f(3x-5)<0,求实数x的取值范围. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①:(1)解:由函数y=f对任意x,y∈R都有f=f+f, 得函数的定义域为R,令x=y=0,可得f=0. (2)证明:令y=-x,可得f=f+f,即0=f+f, ∴f=-f, 因此,函数y=f为奇函数. (3)解:奇函数f(x)是R上的增函数, 由f(x2+1)+f(3x-5)<0,即f(1+x2)<f(5-3x), 即有1+x2<5-3x,解得-4<x<1. 所以实数x的取值范围为(-4,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②:(1)解:对任意x,y∈R,都有yf(x)-xf(y)=xy(x2-y2), 令x=1,y=0,可得0-f(0)=0,即f(0)=0. (2)证明:对任意x,y∈R,都有yf(x)-xf(y)=xy(x2-y2), 令y=-x,可得-xf(x)-xf(-x)=-x2(x2-x2), 可得-x[f(x)+f(-x)]=0,由x∈R,可得f(-x)=-f(x), 故f(x)为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)解:奇函数f(x)是R上的增函数, 由f(x2+1)+f(3x-5)<0,即f(1+x2)<f(5-3x), 即有1+x2<5-3x,解得-4<x<1. 所以实数x的取值范围为(-4,1). $$