第1章 提升课2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

提升课2　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)＞0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； [解]　f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， 则f(x)min＝f＝a－， f(x)＞0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－＞0，故a＞. 故实数a的取值范围是. 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 3 (2)若f(x)＜0在x∈(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围. [解]　f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1，2)上满足f(x)＜4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]. 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 4 恒成立问题求参数的范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 方法总结 5 1. 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取 值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[－2，2] C.(－2，2] D.(－∞，－2) C 跟踪训练 6 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立. 当a≠2时，则 即解得－2＜a＜2. 所以实数a的取值范围是(－2，2]. 跟踪训练 7 2.若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范 围是(　　) A.(－∞，－3]　　　　　 B.(－∞，0] C.[1，＋∞) D.(－∞，1] A 跟踪训练 8 解析：法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意， 得解得a≤－3. 法二(最值法)：当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 跟踪训练 9 3.对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围. 解：f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知，在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零， 所以 解得x＜1或x＞3. 故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零. 跟踪训练 10 [例2]　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； [解]　依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得 考点二　 一元二次方程根的分布 11 即 解得－＜m＜－. 故实数m的取值范围为. 考点二　 一元二次方程根的分布 12 (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值 范围. [解]　依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得 考点二　 一元二次方程根的分布 13 即 解得－＜m＜1－. 故实数m的取值范围为. 考点二　 一元二次方程根的分布 14 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解： (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 方法总结 15 1.已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个 大于1，一个小于1，则m的值可能为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3， 则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1， 由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)＜0， 即(m＋2)(2m＋1)＜0，解得－2＜m＜－. B 跟踪训练 16 2.方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是_________.  解析：∵x2－2ax＋4＝0的两个根都大于1， ∴解得2≤a＜. 可求得实数a的取值范围为. 跟踪训练 17 课时作业　巩固提升 18 1.若命题“∃x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取 值范围是(　　) A.[2，6]　　　　　　　 B.[－6，－2] C.(2，6) D.(－6，－2) 解析：Δ＝m2－4(2m－3)≤0，解得2≤m≤6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 19 2.若不等式ax2－x＋a＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 (　　) A.∪ B.(－∞，0)∪ C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 20 解析：显然a＝0时，不等式不恒成立； 因为不等式ax2－x＋a＞0对一切实数x都成立， 则解得a＞，所以实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 21 3.若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为(　　) A. B. C. D.R 解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则＜x＜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 22 4.若存在x∈[0，1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A.0 B.1 C.－3 D.3 解析：由题意得，当x∈[0，1]时， m≤(x2－4x)max. 令f(x)＝x2－4x，x∈[0，1]， 由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0， 所以m≤0，故m的最大值为0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 23 5.已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数 a的取值范围是(　　) A.－1＜a＜2 B.a≥1 C.a＜－1 D.－1≤a＜2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 24 解析：当a＝－1 时，3＞0恒成立，符合题意； 当a≠－1 时，需满足 解得－1＜a＜2. 综上所述，－1≤a＜2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 25 6.若函数f(x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0，1)， x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞) C.(7，＋∞) D.(－∞，－3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 26 解析：设t＝2x，则t＞0，则转化为函数g(t)＝t2－mt＋m＋3有两个不同的零点t1，t2，且t1∈(1，2)，t2∈(4，＋∞)， 所以解得m＞7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 27 7.(多选)已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2， 且0＜x1＜1＜x2＜3，则m的值为(　　) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 28 解析：设f(x)＝x2＋(m＋1)x＋， 由0＜x1＜1＜x2＜3， 可得 解得－＜m＜－. 又因为m∈Z，得m＝－3或m＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 29 8.已知对任意x∈[－1，1]，使得不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的 取值范围是______________.  解析：因为对任意x∈[－1，1]，不等式x2－x＋≥m恒成立. 所以≥m，x∈[－1，1]. 设y＝x2－x＋，x∈[－1，1]， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 30 因为y＝x2－x＋， 所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1，1]取最小值，最小值为， 所以m≤， 故实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 31 9.(2025·江苏苏州模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立， 则a的最小值为__________.  解析：∵当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立， ∴a≥－恒成立. 又当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号. ∴－≤－4， ∴a≥－4，故a的最小值为－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 －4 A组　基础保分练 32 10.(2025·辽宁营口模拟)若关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x ＜4}上有解，则实数a的取值范围是_____________.  解析：不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x＜4}上有解等价于a＜2x2－8x－4在{x|1＜x＜4}上有解，即a＜(2x2－8x－4)max，x∈(1，4).因为2x2－8x－4＝2(x－2)2－12＜2×(4－2)2－12＝－4，故a＜－4，即a∈(－∞， －4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－∞，－4) A组　基础保分练 33 11.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立. (1) 求函数f(x)的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由题意得ax2－x＋2－4a≥0 对任意的x∈R恒成立， 所以 解得a＝，所以f(x)＝x2＋x＋1. A组　基础保分练 34 (2) 若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)＜f恒成立，求实数t的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f(x＋t)＜f(x＋t)2＋(x＋t)＋1＜×＋1，即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0， 所以对任意的x∈[－1，1]， 不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0 恒成立. A组　基础保分练 35 令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]， 则 解得－＜t＜－， 所以实数t 的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 36 12.已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)＞0的解集为{x|b＜x＜2}(b＜2). (1)求a，b的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由题意得，a＜0，且b，2为方程ax2＋3x－2＝0的两根， 所以 解得 A组　基础保分练 37 (2)若对于任意的x∈[－1，2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m， 所以m≤－x2＋3x－4. 因为对于任意的x∈[－1，2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立， 所以对于任意的x∈[－1，2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立， 即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1，2]. A组　基础保分练 38 因为y＝－x2＋3x－4＝－，x∈[－1，2]， 所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8， 所以m≤－8， 故实数m的取值范围为(－∞，－8]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 39 13.若方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0只有正根，则m的取值范围是(　　) A.m≤－4或m≥4 B.－5＜m≤－4 C.－5≤m≤－4 D.－5＜m＜－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B B组　能力提升练 40 解析：方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0只有正根，则 (1)当Δ＝(m＋2)2－4(m＋5)＝0，即m＝±4， 当m＝－4时，方程为(x－1)2＝0时，x＝1，符合题意； 当m＝4时，方程为(x＋3)2＝0时，x＝－3不符合题意， 故m＝－4成立； (2)当Δ＝(m＋2)2－4(m＋5)＞0，解得m＜－4或m＞4， 则 解得－5＜m＜－4. 综上得－5＜m≤－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 41 14.关于x的一元二次方程x2＋kx＋2k－1＝0在区间(－1，2)内、外各有一 个实数根，则实数k的取值范围是_______________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解析：x2＋kx＋2k－1＝0在区间(－1，2)内、外各有一个实数根， 令f(x)＝x2＋kx＋2k－1， 当x＝－1，x＝2不是方程的根时，所以 解得－＜k＜0； B组　能力提升练 42 当x＝－1是方程的根时，得1－k＋2k－1＝0⇒k＝0， 此时方程变为：x2－1＝0，解得x＝1或x＝－1， x＝1在区间(－1，2)内，x＝－1在区间(－1，2)外，符合题意； 当x＝2是方程的根时，得4＋2k＋2k－1＝0⇒k＝－， 此时方程变为x2－x＋2×－1＝0， 解得x＝2或x＝－， 此时方程的两根均在区间(－1，2)外，不符合题意. 所以实数k的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 43 15.已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)＞0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：依题意，mx2＋mx＋3＞0在实数集R上恒成立. ①当m＝0时，3＞0，成立； ②当m≠0时，要使原不等式恒成立， 则解得0＜m＜12. 综上，0≤m＜12， 故实数m的取值范围是{m|0≤m＜12}. B组　能力提升练 44 (2)解关于x的不等式f(x)＞(3m－1)x＋5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：不等式f(x)＞(3m－1)x＋5， 等价于mx2＋(1－2m)x－2＞0， 即(x－2)(mx＋1)＞0. ①当m＞0时，解得x＞2或x＜－； ②当m＝0时，不等式整理为x－2＞0，解得x＞2； ③当m＜0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x1＝－，x2＝2. B组　能力提升练 45 (ⅰ)当－＞2，即－＜m＜0时，解得2＜x＜－； (ⅱ)当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为⌀； (ⅲ)当－＜2，即m＜－时，解得－＜x＜2. 综上所述，当m＜－时，原不等式的解集为； 当m＝－时，原不等式的解集为⌀； 当－＜m＜0时，原不等式的解集为； 当m＝0时，原不等式的解集为{x|x＞2}； 当m＞0时，原不等式的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 46 $$