第2章 第2节 函数的单调性-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第二节　函数的单调性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解其意义.　 2.理解并会求单调区间. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f (x1)＜f (x2) f (x1)＞f (x2) 知识梳理 知识点一　单调函数的定义 5   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识梳理 知识点一　单调函数的定义 6 如果函数y＝f (x)在区间I上_________或_________，那么就说函数y＝ f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间. 单调递增 单调递减 知识梳理 知识点二　单调区间的定义 7 1.已知函数f (x)的图象如图所示，则(　　) A.函数f (x)在区间[－1，2]上单调递增 B.函数f (x)在区间[－1，2]上单调递减 C.函数f (x)在区间[－1，4]上单调递减 D.函数f (x)在区间[2，4]上单调递增 A 自我评价 8 2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A.y＝－2x＋1　　　　　　　 B.y＝x2＋1 C.y＝ D.y＝2x 解析：y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误. A 自我评价 9 3.若定义在R上的函数f (x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0成立，则必有(　　) A.f (x)在R上是增函数 B.f (x)在R上是减函数 C.函数f (x)先增后减 D.函数f (x)先减后增 解析：由＞0知f (a)－f (b)与a－b同号，即当a＜b时，f (a)＜ f (b)，或当a＞b时，f (a)＞f (b)，所以f (x)在R上是增函数. A 自我评价 10 1.函数单调性的两个等价结论. 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＞0)⇔f (x)在D上单调递增. (2)＜0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0)⇔f (x)在D上单调递减. 常用结论 11 2.若函数f (x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数. (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反. (3)函数y＝f (x)(f (x)＞0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反. (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关.简记：“同增异减”. 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　 　) A.y＝x－　　　　　　　 B.y＝|x2－2x| C.y＝2x＋2cos x D.y＝lg(x＋1) [解析]　∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y'＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确. ACD 考点一　函数单调性的判断 14 确定函数单调性的方法：定义法、导数法、图象法和性质法. 方法总结 下列函数在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.f (x)＝ln x B.f (x)＝e－x C.f (x)＝ D.f (x)＝－ 解析：对于A，f (x)＝ln x为对数函数，其底数e＞1，在区间(0，＋∞) 上单调递增，不符合题意； 对于B，f (x)＝e－x为指数函数，其底数＜1，在区间(0，＋∞) 上单调递减，符合题意； 对于C，f (x)＝为幂函数，其指数＞0，在区间(0，＋∞) 上单调递增，不符合题意； 对于D，f (x)＝－为反比例函数，在区间(0，＋∞) 上单调递增，不符合题意. B 跟踪训练 [例2]　设函数f (x)＝－2x，证明：函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减. [证明]　∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝－2x1＋2x2 ＝－2(x1－x2)＝(x1－x2)·. 考点二　利用定义证明函数的单调性 17 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，＜1， 所以(x1－x2) ＞0， 所以f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)， 所以函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减. 考点二　利用定义证明函数的单调性 18 定义法证明函数单调性步骤：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论. 方法总结 已知f (x)＝(x∈R).判断函数f (x)的单调性，并用定义证明. 解：f (x)＝＝1－在R上是增函数. 证明：在R上任取x1，x2且x1＜x2， f (x1)－f (x2)＝＝， 由x1＜x2可知0＜， 所以＜0，＋1＞0，＋1＞0， 所以f (x1)－f (x2)＜0， 即f (x1)＜f (x2). 即f (x)在R上是增函数. 跟踪训练 角度1　不含参数的函数的单调区间 [例3]　(1)函数f (x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A.(－∞，0) B.(－∞，0)∪(2，＋∞) C.(－∞，0)和(2，＋∞) D.(2，＋∞) C 考点三　求函数的单调区间 21 [解析]　函数f (x)＝(x－4)·|x|＝的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞). 考点三　求函数的单调区间 22 (2)函数f (x)＝(2x2－3x－2)的单调递增区间为_____________.  [解析]　令t＝2x2－3x－2＞0， 解得x＞2或x＜－， 则f (x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f (t)＝t在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间即为f (x)的单调递增区间，再结合f (x)的定义域可知，f (x)的单调递增区间为. 考点三　求函数的单调区间 23 角度2　含参数的函数的单调区间 [例4]　求函数f (x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调区间，并给出证明. [解]　设x1，x2是任意两个正数，且0＜x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝·(x1x2－a). 当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a.又x1－x2＜0， 所以f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)， 所以函数f (x)在(0，]上是减函数. 当≤x1＜x2时，x1x2＞a.又x1－x2＜0， 所以f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)， 所以函数f (x)在[，＋∞)上是增函数. 综上可知，函数f (x)＝x＋(a＞0)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增. 考点三　求函数的单调区间 24 1.(2025·湖南常德模拟)已知奇函数y＝f (x)是定义域为R的连续函数， 且在区间(0，＋∞)上单调递增，则下列说法正确的是(　　) A.函数y＝f (x)＋x2在R上单调递增 B.函数y＝f (x)－x2在(0，＋∞)上单调递增 C.函数y＝x2f (x)在R上单调递增 D.函数y＝在(0，＋∞)上单调递增 C 跟踪训练 解析：因为y＝f (x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以不妨令f (x)＝x. 对于A，y＝f (x)＋x2＝x＋x2＝， 所以y＝f (x)＋x2在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，y＝f (x)－x2＝x－x2＝－， 所以y＝f (x)－x2在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，y＝x2f (x)＝x3，在R上单调递增，故C正确； 对于D，y＝，x≠0，由反比例函数的单调性可知y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误. 跟踪训练 2.(2025·湖北黄冈模拟)已知函数f (x)＝若f (a)＝f (a＋ 3)，则g(x)＝ax2＋x的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 解析：依题意，解得a＝－1，故g(x)＝－x2＋x，可知g(x)在上单调递增. D 跟踪训练 课时作业　巩固提升 28 1.下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A.y＝－x2＋1　　　　　 B.y＝ C.y＝ D.y＝3－x 解析：y＝－x2＋1在区间(0，1)上单调递减，故A不符合题意； y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0，1)上单调递增，故B符合题意； y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0，1)上单调递减，故C不符合题意； y＝3－x在区间(0，1)上单调递减，故D不符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 29 2.函数f (x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[0，2] D.[0，＋∞) 解析：∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f (x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 30 3.函数f (x)＝在(　　) A.(－∞，1)∪(1，＋∞)上单调递增 B.(－∞，1)∪(1，＋∞)上单调递减 C.(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增 D.(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减 解析：函数f (x) 的定义域为{x|x≠1}.f (x)＝－1，根据函数y＝－ 的单调性及有关性质，可知f (x) 在(－∞，1) 和(1，＋∞) 上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 31 4.若函数f (x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则实数a的值为(　　) A.－2 B.2 C.－6 D.6 解析：f (x)＝|2x＋a|＝易知f (x) 的单调递增区间是，令－＝3，所以a＝－6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 32 5.已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有 ＞－1，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f (x)＋x是增函数 B.y＝f (x)＋x是减函数 C.y＝f (x)是增函数 D.y＝f (x)是减函数 解析：不妨令x1＜x2，∴x1－x2＜0. ∵＞－1⇔f (x1)－f (x2)＜－(x1－x2)⇔f (x1)＋x1＜f (x2)＋x2， 令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)＜g(x2). 又x1＜x2，∴g(x)＝f (x)＋x是增函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 33 6.(多选)已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( 　　) A.当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f (x)的值域为R 解析：当a＞0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→0－时，f (x)→＋∞，∴f (x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f (x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B，C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BCD A组　基础保分练 34 7.(多选)已知函数f (x)＝，下列说法正确的是(　 　) A.f (x)的单调递增区间是[－1，1] B.f (x)的单调递减区间是[1，＋∞) C.f (x)的最大值为2 D.f (x)没有最小值 解析：要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，故B错误；当x＝－1 或x＝3 时，－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，故D错误；令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知，f (x)的单调递增区间是[－1，1]，故A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f (x)max＝f (1)＝2，故C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC A组　基础保分练 35 8.(多选)下列说法中，正确的是( 　　) A.若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f (x)在I上单调递增 B.函数y＝x2在R上是增函数 C.函数y＝－在定义域上是增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 36 解析：对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则有f (x1)＜f (x2)，由函数单调性的定义可知y＝f (x)在I上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数的单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数的单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 37 9.函数f (x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是_____________________.  解析：由题意得函数f (x)＝ 当x≥0时，函数f (x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0，3]， 当x＜0时，函数f (x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]. 综上，函数f (x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0，3]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－∞，－3]，[0，3] A组　基础保分练 38 10.已知命题p：“若f (x)＜f (4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f (x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是__________.  答案：f (x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f (x)＝只要满足题意即可) 解析：由题意知，令f (x)＝(x－1)2， 满足f (x)＜f (4)对任意的x∈(0，4)都成立， 但函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增， 所以函数f (x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 39 11.函数f (x)＝的单调递增区间为___________________.  解析：显然f (x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，又－2＜e3，所以不能合并. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－∞，0)，(0，＋∞) A组　基础保分练 40 12.给定函数f (x)＝，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)和g(x)的图象； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：f (x)，g(x)的图象如图所示. A组　基础保分练 41 (2)∀x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0＜a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a＞2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减. A组　基础保分练 42 13.已知函数f (x)＝，则当n∈N*时，f (n)的最大值为__________.  解析：易知f (x)＝＝1＋， 所以f (n)＝1＋， 由反比例函数性质可知当n＝5时，f (n)取最大值，f (5)＝1＋＝9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 9 B组　能力提升练 43 14.试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f (x)＝a＝a， 所以f (x1)－f (x2)＝a－a， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f (x1)－f (x2)＞0， 即f (x1)＞f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f (x1)－f (x2)＜0， 即f (x1)＜f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 44 15.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)对于任意的正实数x，y，总有f (x)＋f (y)＝f (xy)，且当x＞1时，f (x)＜0，f (e)＝－1. (1) 求f (1)的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：令x＝y＝1，则f (1)＋f (1)＝f (1)， 所以f (1)＝0. B组　能力提升练 45 (2) 判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：f (x)在(0，＋∞) 上单调递减.证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，令xy＝x1，x＝x2，则y＝，所以y＞1，f (y)＝f ＜0，由题得f (x2)＋f ＝f (x1)， 即f (x1)－f (x2)＝f ＜0， 即对任意x1，x2∈(0，＋∞)，若x1＞x2，则f (x1)＜f (x2)，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减. B组　能力提升练 46 $$