第1章 第5节 一元二次方程和一元二次不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第五节　一元二次方程和一元二次不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象       ax2＋bx＋c＝ 0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ________________ R {x|x＜x1，或x＞x2} 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 5 1.＞0(＜0)⇔__________________； 2.≥0(≤0)⇔________________________. f(x)g(x)＞0(＜0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 知识梳理 知识点二　分式不等式与整式不等式 6 |x|＞a(a＞0)的解集为________________________，|x|＜a(a＞0)的解集 为__________. (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 知识梳理 知识点三　简单的绝对值不等式 7 1.不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　) A.{x|1＜x＜4}　　　　 B.{x|－1＜x＜4} C.{x|－4＜x＜1} D.{x|－1＜x＜3} B 自我评价 8 2.不等式＜0的解集为(　　) A.⌀ B.(2，3) C.(－∞，2)∪(3，＋∞) D.(－∞，＋∞) B 自我评价 9 3.已知A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝________.  R 自我评价 10 4.已知不等式x2－ax－b＜0的解集为(2，3)，则a＋b＝__________.  －1 自我评价 11 两个恒成立的充要条件 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　如图所示，数轴上表示的区间与下列不等式的解集相同的是 (　　) A.x2－x－6≤0　　　　 B.x2－x－6≥0 C.≥0 D.≥0 C 考点一　不含参数的不等式的解法 14 [解析]　由题图可得数轴上表示的区间为(－∞，－2)∪[3，＋∞)，由x2－x－6≤0，解得－2≤x≤3；由x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3；由≥0，解得x＜－2或x≥3；由≥0，解得x≤－2或x＞3.所以数轴上表示的区间与不等式≥0的解集相同. 考点一　不含参数的不等式的解法 15 解一元二次不等式的步骤 方法总结 16 1.(2025·广东广州质检)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝若g(x)满足g(x)≤2－x，则x的取值范围为__________.  解析：由已知得g(x)＝当x≥0时，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x＜0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x＜0.综上，x的取值范围为x≤1. x≤1 跟踪训练 17 2.不等式＞2的解集为___________________.  解析：因为＞2，则－2＝＞0， 等价于(1－2x)(x＋2)＞0，解得－2＜x＜， 即不等式＞2的解集为. 跟踪训练 18 [例2]　已知二次函数f(x)＝x2－ax－2a2，a∈R. (1)若f(1)＜0，求实数a的取值范围； [解]　由已知得f(1)＝1－a－2a2＜0， 即(a＋1)(2a－1)＞0， 解得a＜－1或a＞. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪. 考点二　含参数的不等式的解法 19 (2)求关于x的不等式f(x)＞0的解集. [解]　f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0， 令f(x)＝0，得x1＝2a，x2＝－a， 当2a＜－a，即a＜0时，解得x＜2a或x＞－a； 当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0； 当2a＞－a，即a＞0时，解得x＜－a或x＞2a. 综上所述，当a＜0时， 解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)； 当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＞0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞). 考点二　含参数的不等式的解法 20 解含参数的一元二次型不等式的步骤 方法总结 21 解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R). 解：Δ＝a2－4. ①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解. ②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝， 则原不等式的解集为. 综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解； 当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为. 跟踪训练 22 [例3]　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2) ∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　 　) A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ ABD 考点三　三个二次的关系 23 [解析]　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A选项正确； 已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误； 不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确. 考点三　三个二次的关系 24 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 方法总结 25 1.(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为， 则下列说法正确的是(　 　) A.a＜0 B.a＋b＝－5 C.不等式ax2＋x－b＞0的解集是 D.不等式ax2＋x－b＞0的解集是∪(1，＋∞) ABC 跟踪训练 26 解析：由题意得，a＜0，且ax2＋bx＋1＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝， 则 a＋b＝－3－2＝－5，故A，B正确； ax2＋x－b＞0，即－3x2＋x－(－2)＞0， 即(3x＋2)(x－1)＜0，解得－＜x＜1， 故不等式ax2＋x－b＞0的解集为，故C正确，D不正确. 跟踪训练 27 2.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}， 且x2－x1＝15，则a的值为__________.  解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两个实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15， 所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2. 又a＞0，解得a＝. 跟踪训练 28 课时作业　巩固提升 29 1.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A.⌀　　　　　　　　 B.R C. D. 解析：因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2， 所以4x2＋4x＋1≤0 的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 30 2.“≤1”是“”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 31 解析：由不等式≤1，可得≤0，所以解得－2＜x≤3， 又由，可得－≤x－，解得－2≤x≤3， 因为{x|－2＜x≤3}是{x|－2≤x≤3}的真子集， 所以“≤1”是“”的充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 32 3.已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－ bx－a≥0的解集是(　　) A.{x|2＜x＜3} B.{x|x≤2或x≥3} C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 33 解析：∵不等式ax2－bx－1＞0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a＜0， ∴ 解得 则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 34 4.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12＜0的解集为R，则实数a的取值范围 是(　　) A.{a|－1≤a＜2} B.{a|－1＜a≤2} C.{a|－1＜a＜2} D.{a|－1≤a≤2} 解析：当a＝2时，原不等式为－12＜0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2＜0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)＜0，解得－1＜a＜2. 综上，－1＜a≤2，故a的取值范围为{a|－1＜a≤2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 35 5.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件， 现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销 售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每 件可定为(　　) A.11元 B.16元 C.12元到16元之间 D.13元到15元之间 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 36 解析：设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 由题意可得：(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，所以(x－12)(x－16)＜0， 解得12＜x＜16， 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 37 6.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有2个整数解，则实数 a的取值范围为(　　) A.(－1，0]∪[2，3) B.[－2，－1)∪(3，4] C.(－2，－1)∪(3，4) D.[－1，0)∪(2，3] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 38 解析：不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为 (x－1)(x－a)＜0， 当a＝1时，不等式无解； 当a＜1时，不等式的解为a＜x＜1，若解集中恰有2个整数解，则－2≤a＜－1； 当a＞1时，不等式的解为1＜x＜a，若解集中恰有2个整数解，则3＜a≤4. 综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3，4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 39 7.若关于x的不等式ax2＋bx＋＞0的解集为，则下列说法错误 的是(　　) A.a＜0 B.－ax2＋x＋b≥0的解集为(－∞，－1]∪ C.a＝2b D.f(x)＝ax2＋bx＋的最大值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 40 解析：根据题意，关于x的不等式ax2＋bx＋＞0的解集为，即a≠0， 所以ax2＋bx＋＝0的两根为x1＝－1，x2＝， 则 所以a＜0，a＝2b，即A，C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 41 所以－ax2＋x＋b≥0化为x2＋x－≥0， 解得x≤－1或x≥， 所以－ax2＋x＋b≥0的解集为(－∞，－1]∪，故B正确； f(x)＝ax2＋bx＋＝－x2－x＋， 所以f(x)＝ax2＋bx＋，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 42 8.(多选)设[x]表示不大于实数x的最大整数，则满足关于x的不等式[x]2＋ [x]－12≤0的解可以为(　　) A. B.3 C.－4.5 D.－5 解析：因为不等式[x]2＋[x]－12≤0， 所以([x]－3)([x]＋4)≤0， 所以－4≤[x]≤3.又因为[x]表示不大于实数x的最大整数， 所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为，3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AB A组　基础保分练 43 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，甲写错了常数b，得到的 解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等式 的解集为__________.  解析：依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1， 因此不等式x2＋bx＋c＜0，即x2－x－6＜0， 解得－2＜x＜3， 所以原不等式的解集为(－2，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－2，3) A组　基础保分练 44 10.关于x的不等式(ax－b)(x－2)＞0的解集为，则满足条件 的一组有序实数对(a，b)的值可以是______________________.  解析：由题意得即a＝2b＜0，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－2，－1)(答案不唯一) A组　基础保分练 45 11.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行 车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小 时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 100　 [60，100] A组　基础保分练 46 解析：由题意，当x＝120时， ＝11.5， 解得k＝100. 由≤9， 得x2－145x＋4 500≤0， 解得45≤x≤100. 又∵60≤x≤120， ∴60≤x≤100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 47 12.设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)＞0； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1＞0， 即(2x＋1)(x－1)＜0， 解得－＜x＜1， 故当a＝－2时，不等式f(x)＞0的解集为. A组　基础保分练 48 (2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f(x)＜0，可得(ax－1)(x－1)＜0， 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0＜a＜1时，＞1，解得1＜x＜； 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2＜0，该不等式的解集为⌀； 当a＞1时，＜1，解得＜x＜1. 综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞1时，原不等式的解集为. A组　基础保分练 49 13.关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C. D.∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A B组　能力提升练 50 解析：不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R， 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立， 即a≥， 当x＝0时，a≥0， 当x≠0时，a≥， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 51 因为， 当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立，所以a≥， 综上所述，a∈. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 52 14.一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”.已知关于x的不等式x2－ kx＋2k＜0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的 取值范围为_________________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 [－1，0)∪(8，9] B组　能力提升练 53 解析：不等式x2－kx＋2k＜0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根， 则Δ＝(－k)2－8k＞0，解得k＞8或k＜0. 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2， 令x1＜x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k. 由题意得x2－x1＝≤3， 解得－1≤k≤9，又k＞8或k＜0， 所以－1≤k＜0或8＜k≤9， 所以实数k的取值范围为[－1，0)∪(8，9]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 54 15.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0. (1) 若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：根据题意得 解得 B组　能力提升练 55 (2) 若b＝a＋1，求此不等式的解集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：当b＝a＋1 时，－x2＋ax＋b＞0⇔x2－ax－(a＋1)＜0，即[x－(a＋1)](x＋1)＜0.当a＋1＝－1，即a＝－2 时，原不等式的解集为⌀；当a＋1＜－1，即a＜－2 时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1＞－1，即a＞－2 时，原不等式的解集为(－1，a＋1).综上，当a＜－2 时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2 时，原不等式的解集为⌀；当a＞－2 时，原不等式的解集为(－1，a＋1). B组　能力提升练 56 $$