第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第一节　函数的概念及其表示 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.了解函数的含义.　 2.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.函数的定义 一般地，设A，B是_________的实数集，如果对于集合A中的_________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A. 非空 任意 唯一确定 知识梳理 知识点一　函数的概念 5 2.函数的定义域、值域 在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A} 叫做函数的_________. 3.函数的三要素 _________、_________和对应关系. 4.表示函数的常用方法 _________、_________和解析法. 定义域 值域 定义域 值域 列表法 图象法 知识梳理 知识点一　函数的概念 6 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. 知识梳理 知识点二　分段函数 7 1.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f (x)的图象的是(　 　) 解析：对于A：多个x对应一个y，可以是函数； 对于B：在y轴左侧或右侧，一个x对应多个y，不是函数； 对于C：一个x对应一个y，可以是函数； 对于D：为不连续的点函数. ACD 自我评价 8 2.下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A.y＝　　　　　　 B.y＝＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 B 自我评价 9 3.函数f (x)＝的定义域是__________________.  解析：由题意得 解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. (－∞，0)∪(0，1] 自我评价 10 4.已知函数f (x－1)＝x2＋4x－5，则f (x)的解析式是______________.  解析：f (x－1)＝x2＋4x－5， 设x－1＝t，则x＝t＋1， 所以f (t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， 故f (x)＝x2＋6x. f (x)＝x2＋6x 自我评价 11 关键能力　重点探究 12 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.f (x)＝与g(x)＝x表示同一函数 B.函数f (x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域为(1，3) C.f (x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D.若f (x)＝|x－1|－x，则f ＝0 AC 考点一　函数的概念 13 [解析]　对于A，函数f (x)＝＝x的定义域为R，函数g(x)＝x的定义域为R，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B，要使函数有意义，则 解得1≤x＜3， 所以函数的定义域为[1，3)，故B错误； 对于C，函数f (x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，由f (x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f (0)＝1，故D错误. 考点一　函数的概念 14 [例2]　已知函数f (x)的定义域是[－1，1]，求f ＋f (x－1)的定义域. [解]　由f (x)的定义域为[－1，1]， ∴ 解得0≤x≤2， 即f ＋f (x－1)的定义域为[0，2]. 考点一　函数的概念 15 1.两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略. 若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. 方法总结 16 1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f (x)＝，g(x)＝()2 B.f (x)＝－1，g(x)＝ C.f (x)＝g(t)＝|t| D.f (x)＝x＋1，g(x)＝ C 跟踪训练 17 解析：对于A，f (x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数； 对于B，f (x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于D，f (x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数. 跟踪训练 18 2.已知f ＝lg x，则f (x)的定义域为__________.  解析：由f ＝lg x可知x＞0， ∴＋1＞1， ∴f (x)的定义域为(1，＋∞). (1，＋∞) 跟踪训练 19 [例3]　(1)已知函数f (x＋2)＝x2－3x＋4，求f (x)的解析式； [解]　(配凑法)∵f (x＋2)＝x2＋4x＋4－7(x＋2)＋14 ＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f (x)＝x2－7x＋14. 考点二　求函数的解析式 20 (2)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； [解]　(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t. ∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f (x)＝2x－x2(0≤x≤2). 考点二　求函数的解析式 21 (3)已知f (x)是一次函数且3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式； [解]　(待定系数法)∵f (x)是一次函数，可设f (x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f (x)＝2x＋7(x∈R). 考点二　求函数的解析式 22 (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式. [解]　∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换， 得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①×2－②解得f (x)＝3x. 考点二　求函数的解析式 23 函数解析式的求法：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)方程组法. 方法总结 24 1.若f ，则f (x)＝______________________.  解析：f (x)＝(x≠0且x≠1). (x≠0且x≠1) 跟踪训练 25 2.f (x)满足2f (x)＋f ＝3x－1，则f (x)＝_____________________.  解析：已知2f (x)＋f ＝3x－1，　① 以代替①中的x(x≠0)，得2f ＋f (x)＝－1，　② ①×2－②，得3f (x)＝6x－－1，故f (x)＝2x－(x≠0). 2x－(x≠0) 跟踪训练 26 [例4]　(多选)设函数f (x)＝则下列说法正确的是(　 　) A.f (x)的定义域为R B.f (x)的值域为(1，＋∞) C.若f (a)＝0，则a＝10 D.f (f (－3))＝1 [解析]　A显然正确.f (x)的值域是R，B错误.当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，解得a＝1，故实数a的值为1，C错误.f (f (－3))＝f (10)＝1，D正确. AD 考点三　分段函数 27 分段函数求值问题的解题思路 1.求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 方法总结 28 1.(2025·八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2.若当x＞2时，f (x)＞0， 则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1]　　　　　　　 B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) 解析：f (x)＝当x＜a时，－x2＋ax－2a2＜0，∴2≥a. 当x≥a时，f (x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，在(2，＋∞)上f (x)＞0. ①当a＞0时，2a≤2，即0＜a≤1；②当a＝0时，f (x)＝x2＞0恒成立； ③当a＜0时，－a≤2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1. B 跟踪训练 29 2.(2025·山东济南模拟)已知函数f (x)＝则f (9)＝ (　　) A.2 B.9 C.65 D.513 解析：f (9)＝f (9－3)＝f (6)＝f (3)＝f (0)＝20＋1＝2. A 跟踪训练 30 课时作业　巩固提升 31 1.下列所给图象是函数图象的个数为(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A.1个　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 解析：①中，当x＞0 时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，不是函数图象；②中，当x＝x0 时，y的值有两个，不是函数图象；③④中，每一个x 的值对应唯一的y 值，是函数图象. A组　基础保分练 32 2.函数y＝的定义域为(　　) A.[0，2] B.(－∞，－3)∪(－3，2) C.(－∞，2) D.(－∞，－3)∪(－3，2] 解析：对于函数y＝，则解得x≤2且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 33 3.函数f (x)＝的值域是(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D.(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：f (x)＝＝1－， ∵≠0，∴1－≠1，从而可知函数f (x)＝的值域为(－∞，1) ∪(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 34 4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)－2x)＝3恒 成立，则f (3)＝(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 解析：设f (x)＝ax＋b，a≠0， 则f (f (x)－2x)＝f (ax＋b－2x)＝a(ax＋b－2x)＋b＝(a2－2a)x＋ab＋b. 因为f (f (x)－2x)＝3恒成立，所以a2－2a＝0且ab＋b＝3，解得a＝2，b＝1， 所以f (x)＝2x＋1，即有f (3)＝7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 35 5.已知f (x)＝若f (f (1))＝f (－1)，则实数a的值为(　　) A.－ B.－4或－ C.－4 D.不存在 解析：由题意，f (1)＝a＋3，f (－1)＝，即f (a＋3)＝. 当a＋3≥0，即a≥－3时，f (a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝，解得a＝ －，满足题意； 当a＋3＜0，即a＜－3时，f (a＋3)＝，解得a＝－4，满足题意. 所以a＝－或－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 36 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)＞f (x－1)＋f (x－ 2)，且当x＜3时，f (x)＝x，则下列结论一定正确的是(　　) A.f (10)＞100 B.f (20)＞1 000 C.f (10)＜1 000 D.f (20)＜10 000 解析：因为当x＜3时，f (x)＝x，所以f (1)＝1，f (2)＝2. 因为f (x)的定义域为R，且f (x)＞f (x－1)＋f (x－2)， 则f (3)＞f (2)＋f (1)＝3，f (4)＞f (3)＋f (2)＞5， f (5)＞f (4)＋f (3)＞8，f (6)＞f (5)＋f (4)＞13， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 37 f (7)＞f (6)＋f (5)＞21，f (8)＞f (7)＋f (6)＞34， f (9)＞f (8)＋f (7)＞55，f (10)＞f (9)＋f (8)＞89， f (11)＞f (10)＋f (9)＞144，f (12)＞f (11)＋f (10)＞233，f (13)＞f (12)＋ f (11)＞377， f (14)＞f (13)＋f (12)＞610，f (15)＞f (14)＋f (13)＞987， f (16)＞f (15)＋f (14)＞1 597＞1 000，则依次下去可知f (20)＞1 000，则B正确； 且无证据表明A，C，D一定正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 38 7.(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论， 正确的是(　　) A.f (x)的定义域为R B.f (x)的值域为(－∞，4] C.若f (x)＝2，则x的值是－ D.f (x)＜1的解集为(－1，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 BC A组　基础保分练 39 解析：函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x＜1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x＜1时，令f (x)＝x2＜1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝ －x＋2＜1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)＜1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 40 8.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.函数y＝的定义域为(－1，0)∪(0，2] B.f (x)＝和g(x)＝x表示同一个函数 C.函数y＝的值域为 D.定义在R上的函数f (x)满足2f (x)－f (－x)＝x＋1，则f (x)＝＋1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ACD A组　基础保分练 41 解析：对于A，由已知可得，即即函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]，故A正确； 对于B，f (x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确； 对于C，因为x2＋3≥3，所以0＜≤，故函数y＝的值域为，故C正确； 对于D，由2f (x)－f (－x)＝x＋1可得2f (－x)－f (x)＝－x＋1， 所以由 可得f (x)＝＋1，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 42 9.设函数f (x)＝若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为_____________________________________.(只需写出满足题意的一个数值即可)  解析：若a＜0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a＜1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 0(答案不唯一，满足a∈(－∞，1)即可) A组　基础保分练 43 10.设函数f (x)＝则满足f (x)＋f ＞1的x的取值范围 是______________.  解析：由题意得，当x＞ 时， 2x＋＞1 恒成立，即x＞ 满足题意； 当0＜x≤ 时，2x＋＋1＞1恒成立，即0＜x≤ 满足题意； 当x≤0 时，x＋1＋＋1＝2x＋＞1，所以x＞－， 即－＜x≤0. 综上所述，x的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 44 11.(2025·山东济宁模拟)已知函数f (x)的解析式为f (x)＝ (1)求f ，f ，f (－1)的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：∵＞1，∴f ＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f ＋5＝. ∵－1＜0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. A组　基础保分练 45 (2)画出这个函数的图象； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：此分段函数的图象如图所示. 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数y＝f (x)的图象. A组　基础保分练 46 (3)求f (x)的最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由函数图象可知，当x＝1时，f (x)取最大值6. A组　基础保分练 47 12.已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数m的取 值范围是_____________，若函数f (x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取 值范围是__________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 48 解析：若函数f (x)的定义域为R， 则有m＞0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m＝0时，f (x)＝，值域是[0，＋∞)，满足条件； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 49 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0， 当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f (x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件； 当m＞0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0， 解得－≤m≤. 又m＞0，所以0＜m≤. 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 50 13.(1)已知二次函数f (2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f (x)＝_______________；  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解析：法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝， 所以f (t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f (x)＝x2－5x＋9(x∈R). 法二(配凑法)：因为f (2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f (x)＝x2－5x＋9(x∈R). x2－5x＋9(x∈R) B组　能力提升练 51 法三(待定系数法)：因为f (x)是二次函数，所以设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f (2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f (2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得 所以f (x)＝x2－5x＋9(x∈R). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 52 (2)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝2f (x).若当0≤x≤1时，f (x)＝ x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f (x)＝____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解析：当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1， 由已知f (x)＝x(1－x)， 则f (x)＝f (x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，即f (x)＝－x(x＋1)＝－x2－x. －x2－x B组　能力提升练 53 14.若定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2xy，f (1)＝2，求 f (－3)的值. 解：由题意得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋0，所以f (0)＝0.因为f (1)＝2，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＋2＝6，所以f (3)＝f (2)＋f (1)＋4＝12，则f (0)＝f (3－3)＝f (3)＋f (－3)－18＝12＋f (－3)－18＝0，所以f (－3)＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 54 $$