第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，覆盖成立条件、等号条件及求最值应用，严格对接高考评价体系。通过梳理“一正二定三相等”条件，归纳配凑法、常数代换法等常考题型，分析高频考点权重，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”双轨模式，含自我评价、跟踪训练等实战题目，强化“数学思维”中的推理与运算能力。以配凑法求函数最小值为例，详解“拆项凑定”技巧，警示“等号条件”易错点，助力学生掌握得分关键，教师可据此高效开展复习教学。

第四节　基本不等式(a，b≥0) 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.掌握基本不等式(a，b≥0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　 2.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.基本不等式成立的条件：_____________. 2.等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立. 3.其中________叫作正数a，b的算术平均数， ________叫作正数a，b的几何平均数. a＞0，b＞0 a＝b 知识梳理 知识点一　基本不等式： 5 1.已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最 小值________. 2.已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最 大值________. 注意：利用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”三个条件. 2 S2 知识梳理 知识点二　利用基本不等式求最值 6 1.设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A.4　　　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 C 自我评价 7 2.若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 C 自我评价 8 3.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D.1 A 自我评价 9 4.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为__________.  4 自我评价 10 几个重要的不等式 1.≥2(a，b同号). 2.ab≤(a，b∈R). 3.≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 常用结论 11 关键能力　重点探究 12 [例1]　(1)若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b＞＞a＞　 B.b＞＞a C.b＞＞a D.b＞a＞ C 考点一　基本不等式的理解及常见变形 13 [解析]　∵0＜a＜b， ∴2b＞a＋b， ∴b＞. ∵b＞a＞0， ∴ab＞a2， ∴＞a. 故b＞＞a. 考点一　基本不等式的理解及常见变形 14 (2)对于下列判断，正确的是__________.  ①不等式ab≤与等号成立的条件是相同的. ②y＝x＋的最小值是2. ③若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4. ④函数y＝cos x＋，x∈的最小值为4. ③ 考点一　基本不等式的理解及常见变形 15 [解析]　①错误，前者成立的条件是a，b∈R，后者成立的条件是a≥0，b≥0.②错误，x可以是负数.④错误，由于cos x＝时，cos x＝2无解，故cos x＋的最小值不为4. 考点一　基本不等式的理解及常见变形 16 基本不等式的常见变形 1.ab≤. 2.≤　≤ (a＞0，b＞0). 方法总结 17 (多选)下列不等式中，不正确的是(　 　) A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 解析：a＜0时，a＋≥4不成立，故A错误；a＝1，b＝1时，a2＋b2＜4ab，故B错误；a＝4，b＝16时，则，故C错误；由基本不等式可知D项正确. ABC 跟踪训练 18 角度1　配凑法求最值 [例2]　(1)函数f(x)＝的最小值为________.  [解析]　函数f(x)＝ 的定义域为(1，＋∞)，f(x)＝≥2＝4，当且仅当，即x＝5 时取等号，故当x＝5 时，f(x)取得最小值，且最小值为4. 4 考点二　利用基本不等式求最值 19 (2)当0＜x＜4时，则y＝x(8－2x)的最大值为__________.  [解析]　∵y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， ∴y＝x(8－2x)的最大值为8. 8 考点二　利用基本不等式求最值 20 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值. 方法总结 21 角度2　常数代换法求最值 [例3]　(1)(2025·江西南昌模拟)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋ b的最小值为(　　) A.54　　 B.56 C.72　　 D.81 [解析]　∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)×＋40≥2＋40＝72，当且仅当，即a＝6，b＝24时取等号. C 考点二　利用基本不等式求最值 22 (2)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　) A.1　　 B.2 C.3　　 D.4 A 考点二　利用基本不等式求最值 23 [解析]　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以 ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ 考点二　利用基本不等式求最值 24 ≥ ＝1. 当且仅当时取等号. 综上，的最小值为1. 考点二　利用基本不等式求最值 25 常数代换法求解最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2.把确定的定值(常数)变形为1. 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. 4.利用基本不等式求解最值. 方法总结 26 角度3　利用消元法求最值 [例4]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_______.  6 [解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy. 因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，所以x＋3y＋≥9，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 考点二　利用基本不等式求最值 27 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时等号成立，所以x＋3y的最小值为6. 考点二　利用基本不等式求最值 28 当所求最值的代数式中的变量有多个时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值. 方法总结 29 角度4　构造不等式法求最值 [例5]　若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A.9 B.6 C.3 D.12 A 考点二　利用基本不等式求最值 30 [解析]　因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号 成立. 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去). 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的最小值为9. 考点二　利用基本不等式求最值 31 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值. 方法总结 32 1.已知x＜0，则－x的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2＋1 D.2－1 解析：因为x＜0，则1－x＞1，－x＝＋(1－x)－1≥2－1＝2－1， 当且仅当＝1－x，即x＝1－时取等号， 所以－x的最小值为2－1. D 跟踪训练 33 2.若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是(　　) A.　　 B.1 C.2　　 D. 解析：法一：a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b 时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，解得a＋2b≥2， 所以当a＝2b＝1 时，a＋2b取得最小值2. C 跟踪训练 34 法二：因为2ab＋a＋2b＝3， 所以a＝， 所以a＋2b＝－1＋＋2b＝＋(2b＋1)－2≥2－2＝2，当且仅当＝2b＋1，即b＝，a＝1时取等号，故a＋2b 的最小值为2. 法三：因为2ab＋a＋2b＝3，所以(2b＋1)(a＋1)＝4，所以a＋2b＝(2b＋1)＋(a＋1)－2≥2－2＝2，当且仅当2b＋1＝a＋1，即b＝，a＝1时取等号，故a＋2b 的最小值为2. 跟踪训练 35 1.二维形式 对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. 2.一般形式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(＋…＋)·(＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)时，等号成立. 教材延展　柯西不等式 36 [例]　(1)若＋…＋＝1，＋…＋＝4，则a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn的最大值为(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 [解析]　(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(＋…＋)·(＋…＋)＝4， ∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2. C 教材延展　柯西不等式 37 (2)若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为__________.  [解析]　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2， ∴ax＋by≤. 教材延展　柯西不等式 38 1.已知x＋y＝1，则2x2＋3y2的最小值为________.  解析：由柯西不等式(2x2＋3y2)· ≥＝(x＋y)2＝1，∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立，∴2x2＋3y2的最小值为. 跟踪训练 39 2.设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则p＝2x＋y的最大值为__________.  解析：由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)· ≤6×＝11，于是2x＋y≤ . 跟踪训练 40 课时作业　巩固提升 41 1.若x＜0，则关于x＋下列结论正确的是(　　) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 解析：因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 42 2.已知正数x，y满足＝2，则x＋y的最小值为(　　) A.2　　　　　　　 B.4 C.2＋ D.2＋ 解析：因为正数x，y满足＝2， 所以x＋y＝(x＋y)≥＝2＋，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立，所以x＋y的最小值为2＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 43 3.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：p＝x＋＋y＋＝3＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 44 4.若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A.x＝y B.x＝2y C.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝1 解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2， 当且仅当x＝2y时取等号. 故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 45 5.当x＞1时，函数f(x)＝的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 解析：因为x＞1，故f(x)＝，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故f(x)＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 46 6.(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A.x－ B.2x＋ C.x2＋ D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 47 解析：选项A中，当x＜0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2， 当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中， ≥2＝2， 当且仅当时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 48 7.(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　) A.2x≥2y B.≥ C.x2≥y2 D.x2＋y2≥2xy 解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确； 当0＞x≥y时，≥ 不成立，故B错误； 当x＝－1， y＝－2时，x2≥y2不成立，故C错误； x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0恒成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 49 8.(多选)若x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，则(　 　) A.＞1 B.x＋2y＋xy≥9＋6 C.xy≤8 D.≥2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABD A组　基础保分练 50 解析：已知x＞0，y＞0，∵2x＋y＝xy， ∴＝1. ∴＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)·＝9＋≥9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立，故B正确； 2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 51 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时等号成立，故C错误； 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1＞0，y－2＞0， 则≥2＝2， 当且仅当，即x＝2，y＝4时等号成立，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 52 9.已知a＞0，b＞0且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__________.  解析：由ab＝a＋b＋3得(a－1)(b－1)＝4，由(a－1)b＝a＋3 得a＞1，同理b＞1，所以a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2＋2＝6，当且仅当a－1＝b－1，即a＝3，b＝3时取等号，a＋b取得最小值6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 6 A组　基础保分练 53 10.已知函数f(x)＝3x＋(a＞0)的最小值为5，则a＝________.  解析：f(x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时等号成立，∴a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 9 A组　基础保分练 54 11.已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是_________.  解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6， ∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤×＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 3 A组　基础保分练 55 12.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0. (1)求ab的最大值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4， ∴ab＝a·2b≤·＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立， ∴ab的最大值为2. A组　基础保分练 56 (2)求的最小值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：∵· ＝ ≥·，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴. A组　基础保分练 57 13.(多选)(2025·湖北黄冈模拟)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等 式恒成立的是(　　) A.0＜ B.≥1 C.log2a＋log2b＜2 D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BD B组　能力提升练 58 解析：因为a＞0，b＞0，所以ab≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则ab≤＝4或，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，a2＋b2≥8，， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2(ab)≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 59 14.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为__________.  解析：因为a＞0，b＞0，a＋2b＝1，所以(a＋2)＋(2b＋2)＝5， 所以 ＝[(a＋2)＋(2b＋2)]× ＝ ≥， 当且仅当a＝，b＝时等号成立.故. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 60 15.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则a＋的取值范围为__________， 的最小值为______________.  解析：a＞0，b＞0，a＋2b＝1， 所以0＜a＜1， 根据对勾函数单调性可知，y＝a＋＞2， (a＋2b)＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当a＝b，即b＝，a＝－1时取等号. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (2，＋∞)　 3＋2 B组　能力提升练 61 $$