第1章 提升课2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

提升课2　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　已知函数f (x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f (x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围； [解]　不等式f (x)＜1， 即mx2－(m－1)x＋m－2＜0， 当m＝0时，x－2＜0，解得x＜2，不符合题意； 当m≠0时， 有 解得m＜. 综上所述，实数m的取值范围为. 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 3 (2)若不等式f (x)≥0对一切x∈恒成立，求实数m的取值范围； [解]　不等式f (x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立. 因为x2－x＋1＝＞0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 4 得≤ ＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以＝1， 所以m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞). 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 5 (3)若不等式f (x)＞2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. [解]　不等式f (x)＞2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3＞0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3. 因为x2－x＋1＝＞0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞). 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 6 恒成立问题求参数的范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立，可以用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 3.知参数范围求函数自变量的范围常需要更换主元，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解. 方法总结 7 设函数f (x)＝mx2－mx－1(m≠0)， (1)若对于任意x∈[1，3]，f (x)＜－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是____________________；  解析：f (x)＜－m＋5可化为mx2－mx＋m－6＜0， 令g(x)＝mx2－mx＋m－6＝mm－6，m≠0，x∈[1，3].要使g(x)＜0在[1，3]上恒成立，则g(x)在[1，3]上的最大值小于零. 当m＞0时，易知g(x)在[1，3]上单调递增， (－∞，0)∪ 跟踪训练 8 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0， 解得m＜，则0＜m＜； 当m＜0时，易知g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0， 解得m＜6，所以m＜0. 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0)∪. 跟踪训练 9 (2)若对于任意m∈[1，3]，f (x)＜－m＋4恒成立，则实数x的取值范围为 ___________________.  解析：不等式f (x)＜－m＋4，即mx2－mx＋m－5＜0. 记p(m)＝mx2－mx＋m－5＝(x2－x＋1)m－5. 显然，函数y＝p(m)(m∈[1，3])的图象是一条线段， 由不等式恒成立可得 跟踪训练 10 即也就是 故不等式组等价于x2－x－＜0， 解得＜x＜. 所以实数x的取值范围为. 跟踪训练 11 [例2]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.若关于x的方程ax2－2ax＋1＝0有两个不同的正根，则实数a的取值范围是[0，＋∞) B.已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是 (－5，－4) C.关于x的方程2ax2－x－1＝0在0＜x＜1内恰有一解，则a＞1 D.若关于x的一元二次方程x2－2ax＋4＝0有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 BCD 考点二　 一元二次方程根的分布 12 [解析]　对于A，∵关于x的方程ax2－2ax＋1＝0有两个不同的正根， ∴解得a＞1， 故实数a的取值范围是(1，＋∞).故A错误； 对于B，令f (x)＝x2＋(m－2)x＋5－m， 由题可知⇒ 考点二　 一元二次方程根的分布 13 ⇒ 则－5＜m＜－4，即m的取值范围是(－5，－4).故B正确； 对于C，当a＝0时，x＝－1∉(0，1)，不合题意； ∴a≠0，令f (x)＝2ax2－x－1，有f (0)＝－1，f (1)＝2(a－1)， 要使f (x)在0＜x＜1内恰有一个零点， ∴f (0)·f (1)＜0即可，则a＞1.故C正确； 对于D，设f (x)＝x2－2ax＋4，由题意解得a＞，即a的取值范围是.故D正确. 考点二　 一元二次方程根的分布 14 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 方法总结 15 1.已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个 大于1，一个小于1，则m的值可能为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：令f (x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3， 则f (1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1， 由题可知，m≠－2，且(m＋2)f (1)＜0， 即(m＋2)(2m＋1)＜0，解得－2＜m＜－. B 跟踪训练 16 2.方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是_________.  解析：∵x2－2ax＋4＝0的两个根都大于1， ∴解得2≤a＜. 可求得实数a的取值范围为. 跟踪训练 17 课时作业　巩固提升 18 1.若命题“∃x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取 值范围是(　　) A.[2，6]　　　　　　　　 B.[－6，－2] C.(2，6) D.(－6，－2) 解析：Δ＝m2－4(2m－3)≤0，解得2≤m≤6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 19 2.若不等式ax2－x＋a＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 (　　) A.∪ B.(－∞，0)∪ C. D. 解析：显然a＝0时，不等式不恒成立； 因为不等式ax2－x＋a＞0对一切实数x都成立， 则即解得a＞，所以实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 20 3.若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为(　　) A. B. C. D.R 解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则即解得＜x＜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 21 4.若存在x∈[0，1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A.0 B.1 C.－3 D.3 解析：由题意得，当x∈[0，1]时，m≤(x2－4x)max. 令f (x)＝x2－4x，x∈[0，1]， 由f (x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时， f (x)max＝f (0)＝0， 所以m≤0，故m的最大值为0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 22 5.当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≥ 解析：法一：当1≤x≤2 时，不等式x2－ax＋1≤0 恒成立， 所以当1≤x≤2 时，a≥恒成立，则a≥， 由于＝x＋，而y＝x＋ 在[1，2] 上单调递增， 故当x＝2 时，x＋取得最大值，故a≥. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 23 法二：令f (x)＝x2－ax＋1，x∈[1，2]， 因为当1≤x≤2 时， 不等式x2－ax＋1≤0 恒成立， 所以f (x)max≤0， 所以 即 解得a≥. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 24 6.若函数f (x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0，1)， x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞) C.(7，＋∞) D.(－∞，－3) 解析：设t＝2x，则t＞0，则转化为函数g(t)＝t2－mt＋m＋3有两个不同的零点t1，t2，且t1∈(1，2)，t2∈(4，＋∞)， 所以即解得m＞7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 25 7.(多选)已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋＝0(m∈Z)有两个实数根x1， x2，且0＜x1＜1＜x2＜3，则m的值为(　　) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 解析：设f (x)＝x2＋(m＋1)x＋， 由0＜x1＜1＜x2＜3， 可得即 解得－＜m＜－. 又因为m∈Z，得m＝－3或m＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BC A组　基础保分练 26 8.已知对任意x∈[－1，1]，使得不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m 的取值范围是__________.  解析：因为对任意x∈[－1，1]，不等式x2－x＋≥m恒成立. 所以≥m，x∈[－1，1]. 设y＝x2－x＋，x∈[－1，1]， 因为y＝x2－x＋， 所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1，1]取最小值，最小值为， 所以m≤， 故实数m的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 27 9.已知函数f (x)＝x2－4x－4.若f (x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立， 则实数m的取值范围是__________.  解析：由题意得x2－4x－4＜1，解得－1＜x＜5，即x∈(－1，5).因为f (x)＜1 在区间(m－1，－2m) 上恒成立，所以(m－1，－2m)⊆(－1，5)，所以 解得0≤m＜，即m∈. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 28 10.(2025·辽宁营口模拟)若关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x ＜4}上有解，则实数a的取值范围是_______________.  解析：不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x＜4}上有解等价于a＜2x2－8x－4在{x|1＜x＜4}上有解，即a＜(2x2－8x－4)max，x∈(1，4).因为2x2－8x－4＝2(x－2)2－12＜2×(4－2)2－12＝－4，故a＜－4，即a∈(－∞，－4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－∞，－4) A组　基础保分练 29 11.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f (x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f (x)≥2x恒成立. (1) 求函数f (x)的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由题意得ax2－x＋2－4a≥0 对任意的x∈R恒成立， 所以 即 解得a＝，所以f (x)＝x2＋x＋1. A组　基础保分练 30 (2) 若对任意的x∈[－1，1]，不等式f (x＋t)＜f 恒成立，求实数t的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f (x＋t)＜f 得(x＋t)2＋(x＋t)＋1＜＋1，即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0， 所以对任意的x∈[－1，1]， 不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0 恒成立. 令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]， 则 解得－＜t＜－， 所以实数t 的取值范围为. A组　基础保分练 31 12.已知函数f (x)＝ax2＋3x－2，且f (x)＞0的解集为{x|b＜x＜2}(b＜2). (1)求a，b的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由题意得，a＜0，且b，2为方程ax2＋3x－2＝0的两根， 所以解得 A组　基础保分练 32 (2)若对于任意的x∈[－1，2]，不等式f (x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)可得，不等式f (x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m， 所以m≤－x2＋3x－4. 因为对于任意的x∈[－1，2]，不等式f (x)≥2＋m恒成立， 所以对于任意的x∈[－1，2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立， 即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1，2]. 因为y＝－x2＋3x－4＝－，x∈[－1，2]， 所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8， 所以m≤－8， 故实数m的取值范围为(－∞，－8]. A组　基础保分练 33 13.(2025·山东济南质检)若函数f (x)＝log (x2－ax＋a)(a＞0)的值域为 R，则f (a)的取值范围是(　　) A.(－∞，4] B.(－∞，4) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 解析：依题意可得x2－ax＋a要取遍所有正数， 则Δ＝a2－4a≥0，因为a＞0，所以a≥4. 故f (a)＝loa≥lo4＝lo()4＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C B组　能力提升练 34 14.若对于任意m∈[－1，1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6＜ |y－1|＋|y－3|成立，则实数x的取值范围是_______________.  解析：因为对于任意m∈[－1，1]，任意y∈R， 使得不等式x2＋(3－m)x－6＜|y－1|＋|y－3|成立， 设t(y)＝|y－1|＋|y－3|， 则x2＋(3－m)x－6＜t(y)min， 又因为t(y)＝|y－1|＋|y－3|≥|(y－1)－(y－3)|＝2，所以t(y)min＝2， 所以x2＋(3－m)x－6＜2， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－4，2－2) B组　能力提升练 35 即x2＋(3－m)x－8＜0. 设g(m)＝x2＋(3－m)x－8＝－mx＋x2＋3x－8， 对于任意m∈[－1，1]，g(m)＝－mx＋x2＋3x－8＜0，应用一次函数性质可知 即得 解得 则实数x的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 36 15.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围. (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：设f (x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m， Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝8＞0. 一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内应满足： 即 解得－＜m＜0. B组　能力提升练 37 (2)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足：f (－1)f (1)＜0，即(－2m－3)(2m＋1)＜0. ∴m＞－或m＜－.又∵m－1≠0，∴m≠1. ∴m的取值范围∪∪(1，＋∞). B组　能力提升练 38 (3)一根小于1，另一根大于2； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：一根小于1，另一根大于2，应满足： 即 解得0＜m＜1. B组　能力提升练 39 (4)两根都在(－1，3)内； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：两根都在(－1，3)内， 应满足： 解得－＜m＜. B组　能力提升练 40 (5)在(1，2)内有解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：在(1，2)内有解，应满足： 或f (1)·f (2)＜0， 解得－＜m＜0. B组　能力提升练 41 $$