第2章 第2节 函数的单调性-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第二节　函数的单调性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解其意义.　2.理解并会求单调区间. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数  当x1<x2时,都有　　　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数  f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 知识梳理 知识点　函数的单调性   增函数 减函数 图象 描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.  单调递增 单调递减 1.(人A必修第一册P85习题T1改编)已知函数f(x)的图象如图所示,则(　　) A.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增 B.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减 C.函数f(x)在区间[-1,4]上单调递减 D.函数f(x)在区间[2,4]上单调递增 A 自我评价 2.(人A必修第一册P86T3改编)下列函数中,在其定义域上是减函数的是(　　) A.y=-2x+1　　　　　　　 B.y=x2+1 C.y= D.y=2x A 解析:y=-2x+1在R上是减函数,故A正确; y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; y=在[0,+∞)上是增函数,故C错误; y=2x在R上是增函数,故D错误. 3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有(　　) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数 C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增 A 解析:由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数. 1.函数单调性的两个等价结论. 设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 常用结论 2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. (4)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”. 关键能力　重点探究 [例1]　(多选)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　 　) A.y=x-　　　　　　　 B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1) ACD 考点一　函数单调性的判断 [解析]　∵y=x与y=-在(0,+∞)上单调递增,∴y=x-在(0,+∞)上单调递增,故A正确; 由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确; ∵y'=2-2sin x≥0, ∴y=2x+2cos x是R上的增函数,故C正确; 函数y=lg(x+1)是定义域(-1,+∞)上的增函数,故D正确. 方法总结 确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法. 跟踪训练 下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　) A.f(x)=ln x B.f(x)=e-x C.f(x)= D.f(x)=- B 解析:对于A,f(x)=ln x为对数函数,其底数e>1,在区间(0,+∞) 上单调递增,不符合题意; 对于B,f(x)=e-x为指数函数,其底数<1,在区间(0,+∞) 上单调递减,符合题意; 对于C,f(x)=为幂函数,其指数>0,在区间(0,+∞) 上单调递增,不符合题意; 对于D,f(x)=-=为反比例函数,在区间(0,+∞) 上单调递增,不符合题意. [例2]　判断函数f(x)=,x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. 考点二　利用定义证明函数的单调性 [解]　函数f(x) 在(-2,+∞) 上单调递增.证明如下:f(x)===1-, 任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1--=-=.又x1<x2,且x1,x2∈(-2,+∞),所以x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x) 在(-2,+∞) 上单调递增. 方法总结 定义法证明函数单调性步骤:取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论. 跟踪训练 已知函数f(x)=x2-+1(x>0),判断函数f(x)的单调性,并证明. 解:函数f(x)=x2-+1在区间(0,+∞)上单调递增. 证明:任取0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=-+1-+-1 =(x2-x1). 因为0<x1<x2, 所以x2-x1>0,x2+x1+>0, 所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)=x2-+1在区间(0,+∞)上单调递增. 角度1　不含参数的函数的单调区间 [例3]　(1)函数f(x)=的单调递增区间是(　　) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] D 考点三　求函数的单调区间 [解析]　函数f(x)=的定义域需要满足3+2x-x2≥0,解得f(x)的定义域为[-1,3]. 因为y=3+2x-x2在[-1,1]上单调递增,所以f(x)=在[-1,1]上单调递增. (2)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是(　　) A.[1,2] B.[-1,0] C.(0,2] D.[2,+∞) [解析]　当x≤2时,f(x)=-x2+2x,则函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减;当x>2时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在(2,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是[1,2]. A 角度2　含参数的函数的单调区间 [例4]　(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(　　) A.(-2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-2) C [解析]　由函数f(x)=ax+1在R上单调递减可知a<0, 所以g(x)=a(x2-4x+3)的图象开口向下,对称轴为直线x=2, 因此g(x)在(-∞,2)上单调递增. 跟踪训练 1.(2025·北京模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y= B.y= C.y=lg|x| D.y= C 解析:选项A,y=是非奇非偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意. 选项B,y=是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意. 选项C,y=lg|x|是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意. 选项D,y=是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意. 2.(2025·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=若f(a)=f(a+3),则g(x)=ax2+x的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. D 解析:依题意,解得a=-1,故g(x)=-x2+x,可知g(x)在上单调递增. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A.y=-x2+1　　　　　 B.y= C.y= D.y=3-x B A组　基础保分练 解析:y=-x2+1在区间(0,1)上单调递减,故A不符合题意; y=是[0,+∞)上的增函数,所以在区间(0,1)上单调递增,故B符合题意; y=在(0,+∞)上单调递减,所以在区间(0,1)上单调递减,故C不符合题意; y=3-x在区间(0,1)上单调递减,故D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[0,2] D.[0,+∞) B 解析:∵y=|x-2|= ∴函数y=|x-2|的单调递减区间是(-∞,2],单调递增区间为[2,+∞), ∴f(x)=-|x-2|的单调递减区间是[2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)=则f(x)的单调递增区间为(　　) A. B.[-1,1] C.∪ D.和 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:根据函数性质作出f(x)的图象,如图单调递增区间为: 和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则实数a的值为(　　) A.-2 B.2 C.-6 D.6 C 解析:f(x)=|2x+a|=易知f(x) 的单调递增区间是,令-=3,所以a=-6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:不妨令x1<x2,∴x1-x2<0. ∵>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2, 令g(x)=f(x)+x,∴g(x1)<g(x2). 又x1<x2,∴g(x)=f(x)+x是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(多选)已知函数f(x)=x-(a≠0),下列说法正确的是( 　　) A.当a>0时,f(x)在定义域上单调递增 B.当a=-4时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞) C.当a=-4时,f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞) D.当a>0时,f(x)的值域为R BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:当a>0时,f(x)=x-,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,故A错误;又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→0-时,f(x)→+∞,∴f(x)的值域为R,故D正确;当a=-4时,f(x)=x+,由其图象(图略)可知,B,C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)已知函数f(x)=,下列说法正确的是(　　) A.f(x)的单调递增区间是[-1,1] B.f(x)的单调递减区间是[1,+∞) C.f(x)的最大值为2 D.f(x)没有最小值 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:要使函数有意义,有-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,故B错误;当x=-1 或x=3 时,-x2+2x+3=0,此时函数有最小值0,故D错误;令y=-x2+2x+3= -(x-1)2+4,根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间是[-1,1],故A正确;根据函数的单调性及定义域,可知f(x)max=f(1)=2,故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上单调递增 B.函数y=x2在R上是增函数 C.函数y=-在定义域上是增函数 D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:对于A,若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则有f(x1)<f(x2),由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上单调递增,故A正确; 对于B,由二次函数的性质可知,y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,由反比例函数的单调性可知,y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,故C错误; 对于D,由反比例函数的单调性可知,y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.函数f(x)=x2-6|x|+8的单调递减区间是　　 　　　.  解析:由题意得函数f(x)= 当x≥0时,函数f(x)=x2-6x+8的单调递减区间为[0,3], 当x<0时,函数f(x)=x2+6x+8的单调递减区间为(-∞,-3]. 综上,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,-3],[0,3]. (-∞,-3],[0,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.写出一个符合“对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0”的函数为　　　　 　.  解析:设x1>x2,则x1-x2>0.由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,得f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x) 在R上为增函数,所以函数f(x)=x,f(x)=ex等都满足. f(x)=x(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.函数f(x)=的单调递增区间为　　　 　　.  解析:显然f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,又-2<e3,所以不能合并. (-∞,0),(0,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知函数f(x)=x|x-4|. (1)把f(x)写成分段函数,并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象; 解:f(x)=x|x-4|= 函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)写出函数f(x)的单调递减区间. 解: 由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.已知函数f(x)=,则当n∈N*时,f(n)的最大值为　　　　　.  解析:易知f(x)==1+, 所以f(n)=1+, 由反比例函数性质可知当n=5时,f(n)取最大值,f(5)=1+=9. 9 B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:设-1<x1<x2<1, 因为f(x)=a=a, 所以f(x1)-f(x2)=a-a=, 由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.求函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调区间,并给出证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=(x1x2-a). 当0<x1<x2≤时,0<x1x2<a.又x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,]上是减函数. 当≤x1<x2时,x1x2>a.又x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[,+∞)上是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0,]上是减函数,在[,+∞)上为增函数. $$