第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.掌握等式性质.　 2.会比较两个数的大小.　 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0) 知识梳理 知识点一　不等关系 5 1.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么________； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么________； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. b＝a a＝c 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 6 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c； a＜b，b＜c⇒a＜c 同向 可加性 a＞b⇔_____________ 可逆 a＋c＞b＋c 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 7 性质 性质内容 注意 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒________ c的符号 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒________ 同向，同正 可乘方性 a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒________ 同正 ac＜bc ac＞bd an＞bn 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 8 1.设A＝m(m＋2)，B＝(m＋1)2，则下列不等式一定成立的是(　　) A.A≥B　　　　　　　 B.A＞B C.A≤B D.A＜B D 自我评价 9 2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若，则a＞b C.若a3＞b3，且ab＜0，则 D.若a2＞b2，且ab＞0，则 C 自我评价 10 3.设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为__________.  M＞N 自我评价 11   4.已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为__________.  (－2，1) 自我评价 12 不等式的两类常用性质 1.倒数性质. (1)a＞b，ab＞0⇒； (2)a＜b＜0⇒. 常用结论 13 2.有关分数的性质. 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数的性质： (b－m＞0)； (2)假分数的性质： (b－m＞0). 常用结论 14 关键能力　重点探究 15 [例1]　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x＞－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2＞2(a－b－1) D.若a＞b＞0，则a2－b2＞ AD 考点一　比较数(式)的大小 16 [解析]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)＞0，故D正确. 考点一　比较数(式)的大小 17 (2)若a＝，b＝，则a与b的大小关系是________.(用“＞ ”连接)  a＞b [解析]　法一(作商法)：因为a＝＞0，b＝＞0， 所以×＝log89＞1，所以a＞b. 法二(作差法)：a－b＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b. 考点一　比较数(式)的大小 18 法三(构造法)：由题意，构造函数f(x)＝(x≥3). 因为f'(x)＝， 令f'(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，f'(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f'(x) ＜0， 所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减. 又因为0＜2＜e＜3， 所以f(x)在[3，＋∞)上单调递减， 所以f(3)＞f(4)， 所以， 所以a＞b. 考点一　比较数(式)的大小 19 比较大小的常用方法 1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. 2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 3.构造函数，利用函数的单调性比较大小. 方法总结 20 1.(2025·湖北武汉模拟)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A.M＞N　　　　　　　 B.M＝N C.M＜N D.不确定 解析：因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2＞0，即M＞N. A 跟踪训练 21 2.若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则(　　) A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa 解析：∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1， 由c＜cb＜ca＜1，得0＜a＜b＜1. ∵＞1， ∴ab＜aa. ∵，0＜＜1， ∴＜1，即aa＜ba. 综上可知，ab＜aa＜ba. C 跟踪训练 22 [例2]　(1)若实数a，b满足a＜b＜0，则(　　) A.a＋b＞0 B.a－b＜0 C.|a|＜|b| D. [解析]　由a＜b＜0，可得a＋b＜0，故A错误； 由a＜b＜0，可得a－b＜0，故B正确； 由a＜b＜0，可得－a＞－b＞0，所以|a|＞|b|，故C错误； 由a＜b＜0，可得|a|＞|b|＞0， 所以，故D错误. B 考点二　不等式的基本性质 23 (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　 　) A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞b，则a＋c＞b＋c C.若a＞b＞c＞0，则 D.若a＞b＞c＞0，则 BCD 考点二　不等式的基本性质 24 [解析]　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，b＋c＞0， ∴＞0， ∴，故C正确； 若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，a－c＞0，b－c＞0，且a－c＞a－b， ∴＞0. 又b＞c＞0， 由可乘性知，，故D正确. 考点二　不等式的基本性质 25 1.设x＞0，y＞0，则“x2＞y2”是“x＞y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 跟踪训练 26 2.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是(　　) A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0 C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D.若a＞b，c＞d＞0，则 BC 跟踪训练 27 解析：若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜0＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c.又a＞b，所以a－d＞b－c，故C正确；取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，，故D错误. 跟踪训练 28 [例3]　(1)已知0＜x＜5，－1＜y＜1，则x－2y的取值范围是(　　) A.2＜x－2y＜3 B.－2＜x－2y＜3 C.2＜x－2y＜7 D.－2＜x－2y＜7 [解析]　因为－1＜y＜1，所以－2＜－2y＜2. 又0＜x＜5，所以－2＜x－2y＜7. D 考点三　不等式性质的应用 29 (2)已知－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是______.  [解析]　设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则 2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y， ∴ ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y). 由－1＜x＋y＜4得－2＜－(x＋y)＜， 由2＜x－y＜3得5＜(x－y)＜， ∴3＜2x－3y＜8. (3，8) 考点三　不等式性质的应用 30 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围. 方法总结 31 1.(2025·湖北武汉模拟)已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是________.  解析：由1＜a＜3，＜b＜， ∴4＜＜8，故4＜＜24. (4，24) 跟踪训练 32 2.已知－2＜x－y＜0，1＜2x＋y＜3，则8x＋y的取值范围为__________.  解析：设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)， 则 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y). 又－4＜2(x－y)＜0，3＜3(2x＋y)＜9， ∴－1＜8x＋y＜9. (－1，9) 跟踪训练 33 课时作业　巩固提升 34 1.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1 000 km以上， 整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间 层、暖层和散逸层.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下 述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A.|x－30|＜20　　　 B.|x＋30|＜20 C.|x＋10|＜50 D.|x－10|＜50 解析：平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域， 若x能表示平流层高度，则10＜x＜50， 所以－20＜x－30＜20，即|x－30|＜20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 35 2.a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是(　　) A.a＋b2＞a＋c2 B.a2＋b＞a2＋c C.ab2＞ac2 D.a2b＞a2c 解析：若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项A不成立，故A错误； a2＝a2，b＞c，由不等式的可加性可知，a2＋b＞a2＋c，故B正确.若a＝0，则选项C，D不成立，故C，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 36 3.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n 解析：由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 37 4.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小 的排列顺序是(　　) A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b 解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以2a＞2c，即a＞c，因此b＜d.因为a＋c＜b，所以a＜b.综上可得d＞b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 38 5.若－π＜α＜β＜π ，则α－β 的取值范围是(　　) A.(－2π，2π) B.(0，2π) C.(－2π，0) D.{0} 解析：因为－π＜β＜π ，所以－π＜－β＜π. 又－π＜α＜π ，所以－2π＜α－β＜2π. 又α＜β ，所以α－β＜0，所以－2π＜α－β＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 39 6.(多选)(2025·江苏无锡期中)下列说法中正确的有(　 　) A.若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd B.若a＞b＞0，c＜0，则 C.若1＜a＜3，－1＜b＜0，则2＜a－b＜3 D.若a＜0，ab＞a2，则b2＞a2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ABD A组　基础保分练 40 解析：对于A选项，因为a＞b＞0，c＜d＜0， 则－c＞－d＞0， 所以－ac＞－bd，则ac＜bd，A正确； 对于B选项，因为a＞b＞0，可得， 因为c＜0，可得，B正确； 对于C选项，因为1＜a＜3，－1＜b＜0，则0＜－b＜1， 由不等式的基本性质可得1＜a－b＜4，C错误； 对于D选项，因为a＜0，ab＞a2，由不等式的基本性质可得b＜a＜0，则－b＞－a＞0， 由不等式的基本性质可得a2＜b2，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 41 7.(多选)下列结论中不正确的是(　 　) A.若ac2＞bc2，则a＞b B.若，则a＞b C.若a＞b，c＞d，则ac＞bd D.若＞1，则a＜b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 BCD A组　基础保分练 42 解析：ac2＞bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a＞b，故A不符合题意； 取a＝－1，b＝1，满足， 但是a＜b，故B符合题意； 取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd，故C符合题意； 取a＝2，b＝1，满足＞1， 但是a＞b，故D符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 43 8.(多选)已知实数x，y满足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，则(　 　) A.－1＜x＜2 B.－2＜y＜1 C.－3＜x＋y＜3 D.－1＜x－y＜3 解析：因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－2＜4x－2y＜8， 则－5＜5x＜10，即－1＜x＜2，故A正确； 又－4＜－2x－4y＜6，－1＜2x－y＜4， 所以－5＜－5y＜10，即－2＜y＜1，故B正确； x＋y＝∈(－2，2)，故C错误； x－y＝∈(－1，3)，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ABD A组　基础保分练 44 9.已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是_____________.  解析：因为a＞0，－1＜b＜0， 所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a， 故ab＜ab2＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ab＜ab2＜a A组　基础保分练 45 10.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是__________.  解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3知， －3＜－y＜－2，故－4＜x－y＜2. 又－3＜3x＜12，4＜2y＜6， ∴1＜3x＋2y＜18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (－4，2)　 (1，18) A组　基础保分练 46 11.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解： a＝[(a＋b)＋(a－b)]， 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， ∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[－2，3]. A组　基础保分练 47 (2)求3a－2b的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， 则 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b). ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4， ∴－(a＋b)≤1，－(a－b)≤10， ∴－4≤3a－2b≤11， 即3a－2b的取值范围为[－4，11]. A组　基础保分练 48 12.手机屏幕面积与整机面积的比值叫作手机的“屏占比”，它是手机 外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1(不含0，1)内，设计师将 某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手 机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C B组　能力提升练 49 解析：根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b＞a，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中m(m＞0)为升级后增加的面积，由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 50 13.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2＞b2＞c2，则a＋b＞c”是假命 题的一组整数a，b，c的值依次为_________________________.  解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2＞b2＞c2， 此时a＋b＝－4＜0，所以a＋b＞c是假命题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 －3，－1，0(答案不唯一) B组　能力提升练 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 14.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围. 解：∵y＝f(x)＝ax2＋bx，∴f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. 法一(待定系数法)： 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 又f(－2)＝4a－2b， 所以4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)·a＋(n－m)b， 可得 所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1). B组　能力提升练 52 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， 所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10. 法二(运用方程思想)： 由 B组　能力提升练 53 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 得 所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1). 又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， 所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10， 即f(－2)的取值范围是[5，10]. B组　能力提升练 54 $$