第1章 提升课1 基本不等式的综合应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

提升课1　基本不等式的综合应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? [解]　由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，当且仅当x＝，即x＝300时，等号成立，故该单位每月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 考点一　基本不等式的实际应用 3 (2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元? [解]　获利.设该单位每月获利为s元，则s＝200x－y＝－x2＋400x－ 45 000＝－(x－400)2＋35 000.因为x∈[300，600]，所以s∈[15 000， 35 000].故该单位每月获利，最大利润为35 000元. 考点一　基本不等式的实际应用 4 利用基本不等式求解实际问题的两个注意点 1.利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. 2.在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解. 方法总结 5 2024年6月5日是第53个世界环境日，我国环境日的主题是“全面推进美丽中国建设” ，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? 解：设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得 t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元. 跟踪训练 6 (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 跟踪训练 7 解：依题意知，当x＞25时， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x＞25时，a≥有解， ∵≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)， ∴a≥10.2. ∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 跟踪训练 8 [例2]　(1)已知x＞0，y＞0，且＝1.若2x＋y＜m2－8m有解，则实数 m的取值范围为(　　) A.(－∞，－1)∪(9，＋∞) B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9，1] [解析]　因为x＞0，y＞0，且＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). A 考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 9 (2)(2025·广东佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等 式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是_____________.  [解析]　因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4⇒xy≥16，当且仅当y＝4x时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. [－2，8] 考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 10 对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为 (　　) A.{m|－2＜m＜2}　　　　　 B.{m|m＞2} C.{m|m＞－2} D.{m|m≤－2} C 跟踪训练 11 解析：因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1＞0恒成立， 即mx＜x2＋1对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 即m＞＝x＋对任意的x∈(－∞，0)恒成立. 因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 所以x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号， 所以m＞－2. 跟踪训练 12 [例3]　(1)已知二次函数f (x)＝ax2－2x＋2b(a＞0)的图象与x轴仅有一 个交点，则的最小值为(　　) A. B.2 C.3 D.4 B 考点三　基本不等式与其他知识交汇问题 13 [解析]　依题意，二次函数f (x)＝ax2－2x＋2b(a＞0)的图象与x轴仅有一个交点， 令ax2－2x＋2b＝0， 所以Δ＝(－2)2－4a·2b＝0，所以ab＝1. 因为a＞0，所以b＞0， 所以≥2＝2，当且仅当， 即a＝，b＝时，等号成立. 考点三　基本不等式与其他知识交汇问题 14 (2)已知棱长为的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E(与A，B不重合)，若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则的最 小值为(　　) A. B. C. D. C 考点三　基本不等式与其他知识交汇问题 15 [解析]　如图，连接CE，DE，设点O为底面三角形BCD的中心，连接OA，则正四面体的高OA＝2.因为VA－BCD＝VE－BCD＋VE－ACD，所以a＋b＝2，所以(a＋b)＝≥，当且仅 当，即b＝a时取等号. 考点三　基本不等式与其他知识交汇问题 16 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 方法总结 17 1.在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值 为(　　) A. B. C. D. C 跟踪训练 18 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为△ABC的面积为2， 所以S△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝2， 得bc＝8. 在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ＝≥2＝2－， 当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立. 跟踪训练 19 2.在△ABC中，点D在线段BC上，且满足||＝||，E为线段AD上任 意一点.若实数x，y满足＝x＋y，则的最小值为(　　) A.2 B.4 C.4＋2 D.9＋4 D 跟踪训练 20 解析：因为||＝||， 所以＝x＋y＝x＋4y， 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x＞0，y＞0， 所以(x＋4y)＝9＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当， 即时取等号. 跟踪训练 21 课时作业　巩固提升 22 1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则 |MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13　　　　　　　　　 B.12 C.9 D.4 解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立， 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 23 2.已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称， 则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 解析：由题知，圆心(1，2)在直线ax＋by－2＝0上， ∴a＋2b＝2. 又a＞0，b＞0，∴2＝a＋2b≥2， ∴ab≤，当且仅当a＝2b，且a＋2b＝2，即a＝1，b＝时等号成立，∴ab的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 24 3.已知2a＝3，3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.a＞b＞c 解析：由题可知，a＝log23，b＝log34， 易知a，b∈(1，＋∞). 因为＝log34·log32＜＝1，所以b＜a. 所以c＝logab＜logaa＝1＜b，所以a＞b＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 25 4.(2025·山东烟台模拟)要制作一个容积为4m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是(　　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：由题意知，体积V＝4m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2 时取等号.所以该容器的最低总造价是160元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 26 5.已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的 取值范围是(　　) A.(－∞，25] B.(－∞，25) C.(－∞，24] D.[24，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 27 解析：由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0， 得＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y) ＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25. 故实数t的取值范围是(－∞，25]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 28 6.(2025·广东佛山模拟)如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当 这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　　) A. B.1 C.2 D.6 解析：设斜边c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝8， 因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)， 即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 此时a＋b取最大值，则三角形周长取最大值. 此时面积为×2×2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 29 7.已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，正数a，b满足f (2a)＋f (b－2)＝2， 则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 30 解析：因为f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝2， 故函数f (x)的图象关于点(0，1)对称. 又f (x)的定义域为R，f (x)＝ln(－x)＋1＝ln＋1＝－ln(＋x)＋1， 所以f (x)为减函数. 因为f (2a)＋f (b－2)＝2， 所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2. 又a＞0，b＞0， 故≥2＝2. 当且仅当a＝，b＝时，等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 31 8.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的 是(　　) A.(1，4) B.(6，8) C.(7，12) D. 解析：设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于A，(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式满足xy≤，符合题意；对于B，(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式不满足xy≤，不符合题意；对于C，(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式满足xy≤，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式不满足xy≤，不符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 AC A组　基础保分练 32 9.设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的 最小值是__________.  解析：因为an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， 所以≥·，当且仅当n＝，即n＝4 时取等号，所以 的最小值是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 33 10.(2025·安徽淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＞ m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________.  解析：因为x＞0，y＞0， 所以(x＋y)＝5＋≥5＋4＝9， 当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号， 所以实数m的取值范围为(－∞，9). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 (－∞，9) A组　基础保分练 34 11.已知函数f (x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a＞b，则 的最小值为__________.  解析：函数f (x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)， 令ax2＋2x＋b＝0， 则有即ab＝1，且a＞0， 所以＝(a－b)＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 2 A组　基础保分练 35 又a＞b，所以a－b＞0， 则(a－b)＋≥2＝2， 当且仅当a－b＝，且ab＝1， 即a＝，b＝时等号成立， 即的最小值为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 36 12.设函数f (x)＝4x－a·2x＋b，且f (0)＝0，f (1)＝2. (1)求a，b的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由题意得，f (0)＝1－a＋b＝0，f (1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. A组　基础保分练 37 (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f (x)＜m·2x－3成立，求实数m的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由(1)知f (x)＝4x－2x， 所以f (x)＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立， 则当x∈(－∞，3]时，m＞(2x＋3·2－x－1)min. 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0，8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0，8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故实数m的取值范围是(2－1，＋∞). A组　基础保分练 38 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 13.2024年6月5日是第53个世界环境日，我国环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，某高中准备设计一副宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面高与宽的比为a(a＜1)，画的上下部分各留出5 cm的空白，左右部分各留出8 cm的空白. 如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张的面积最小?并求出此时a的值. A组　基础保分练 39 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：设纸张的面积为S，画面的高为x cm(x＞ 0)，则宽为 cm， 根据题意得S＝(x＋10)＝5 000＋ 16x＋≥5 000＋2＝6 760， 当且仅当16x＝，即x＝55 时等号成立，所以画面的高为55 cm，宽为＝88 cm时，宣传画所用纸张的面积最小，此时a＝. A组　基础保分练 40 14.(2025·山东济南模拟)已知1＜x＜y，则“xa＝yb＝xy”是“a＋b＞4” 的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：易知a＝logxxy＝，b＝logyxy＝，发现a＋b＝＝ab.因为a≠b，1＜x＜y，所以a＞0，b＞0，ab＝a＋b＞2，ab＞4，即a＋b＞4，充分性得证.任取a＝2，b＝4，满足a＋b＞4，若x2＝y4＝xy，则x＝y＝±1，与1＜x＜y不符，所以必要性不成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A B组　能力提升练 41 15.(多选)(2025·湖北武汉质检)已知a＞b＞0，a＋b＝1，则下列结论正 确的有(　　) A.的最大值为 B.22a＋22b＋1的最小值为4 C.的最小值为3 D.a＋sin b＜1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 BD B组　能力提升练 42 解析：因为a＞b＞0，a＋b＝1，所以0＜b＜＜a＜1.对于A，≤，则≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，取得最大值，而a＞b＞0，故取不到等号，A错误； 对于B，22a＋22b＋1≥2＝2＝2＝4，当且仅当22a＝22b＋1，即当a＝，b＝时等号成立，B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 43 对于C，[(2a＋b)＋(a＋2b)]＝≥(5＋2)＝3，当且仅当，即a＝0，b＝1时等号成立，而a＞b＞0，所以取不到最值，C错误； 对于D，因为a＋b＝1，所以a＝1－b，所以a＋sin b＝1－b＋sin b， 设h(b)＝1－b＋sin b，0＜b＜，则h'(b)＝－1＋cos b＜0，所以h(b)在上单调递减，所以h(b)＜h(0)＝1，所以1－b＋sin b＜1，即a＋sin b＜1，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 44 16.如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 (1)若围墙AP与AQ总长度为200米，如何建可使三角形地块APQ的面积最大? B组　能力提升练 45 解：设AP＝x米，AQ＝y米. x＋y＝200，△APQ的面积S＝xysin 120°＝xy， 所以S≤＝2 500， 当且仅当即x＝y＝100时取等号. 即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 46 (2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若建围墙用20 000元，如何建可以使竹篱笆用料最省? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 解：由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000， 即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省， 只需其长度PQ最短， B组　能力提升练 47 所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75， 当y＝时，PQ有最小值，此时x＝. 即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 48 $$