第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第一节　函数的概念及其表示 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.了解函数的含义.　2.了解简单的分段函数,并会简单的应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.函数的定义 一般地,设A,B是　　　　的实数集,如果对于集合A中的　　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　 　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  非空 任意 唯一确定 知识梳理 知识点一　函数的概念 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的　　　　;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 　　　　.  3.函数的三要素 　　　　、　　　　和对应关系.  4.表示函数的常用方法 　　　　、　　　　和解析法.  定义域 值域 定义域 值域 列表法 图象法 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数. 知识点二　分段函数 1.(多选)下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　　 ) ACD 自我评价 解析:对于A:多个x对应一个y,可以是函数; 对于B:在y轴左侧或右侧,一个x对应多个y,不是函数; 对于C:一个x对应一个y,可以是函数; 对于D:为不连续的点函数. 2.(人A必修第一册P66例3改编)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是(　　) A.y=　　　　　　 B.y=+1 C.y=+1 D.y=+1 B 3.(人A必修第一册P67T1改编)函数f(x)=+的定义域是 　 　　　　.  解析:由题意得 解得x∈(-∞,0)∪(0,1]. (-∞,0)∪(0,1] 4.已知函数f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的解析式是　　　 　　.  解析:f(x-1)=x2+4x-5, 设x-1=t,则x=t+1, 所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t, 故f(x)=x2+6x. f(x)=x2+6x 关键能力　重点探究 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x表示同一函数 B.函数f(x)=+log3(3+2x-x2)的定义域为(1,3) C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 AC 考点一　函数的概念 [解析]　对于A,函数f(x)==x的定义域为R,函数g(x)=x的定义域为R,定义域相同,对应法则相同,所以是同一个函数,故A正确; 对于B,要使函数有意义,则 解得1≤x<3, 所以函数的定义域为[1,3),故B错误; 对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确; 对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得f=0,所以f=f(0)=1,故D错误. (2)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数y=的定义域为(　　) A.(1,8]　　　　　　　　 B.[-4,1)∪(1,8] C.(1,2] D.[-1,1)∪(1,2] [解析]　由题意得 解得-1≤x≤2且x≠1.故y=的定义域为[-1,1)∪(1,2]. D 方法总结 1.两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.求抽象函数的定义域的策略. 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. 跟踪训练 1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=,g(x)=()2 B.f(x)=-1,g(x)= C.f(x)=g(t)=|t| D.f(x)=x+1,g(x)= C 解析:对于A,f(x)=的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),不是同一个函数; 对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数; 对于C,两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一个函数; 对于D,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数. 2.已知函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(x-1)的定义域为　　　　　.  解析:由-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4, 所以函数f(x-1)的定义域为[-1,4]. [-1,4] [例2]　(1)已知函数f(x+2)=x2-3x+4,求f(x)的解析式; [解]　(配凑法)∵f(x+2)=(x2+4x+4)-7(x+2)+14=(x+2)2-7(x+2)+14, ∴f(x)=x2-7x+14. 考点二　求函数的解析式 (2)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; [解]　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t. ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; [解]　(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即ax+(5a+b)=2x+17, ∴解得 ∴f(x)=2x+7(x∈R). (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. [解]　∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用-x替换, 得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①×2-②解得f(x)=3x. 方法总结 函数解析式的求法有(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)方程组法. 跟踪训练 1.(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x+1)=4x+1,则f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=4x+3 B.f(x)=4x-3 C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x-4 解析:依题意,函数f(x+1)=4(x+1)-3, 所以f(x)的解析式是f(x)=4x-3. B 2.f(x)满足2f(x)+f=3x-1,则f(x)=　　　 　　.  解析:已知2f(x)+f=3x-1,　① 以代替①中的x(x≠0),得2f+f(x)=-1,　② ①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0). 2x--(x≠0) [例3]　(多选)设函数f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(1,+∞) C.若f(a)=0,则a=10 D.f(f(-3))=1 AD 考点三　分段函数 [解析]　A显然正确.f(x)的值域是R,B错误.当a≤0时,a2+1≥1≠0(舍去);当a>0时,lg a=0,解得a=1,故实数a的值为1,C错误.f(f(-3))=f(10)=1,D正确. 方法总结 分段函数求值问题的解题思路 1.求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 跟踪训练 1.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)=则f(9)=(　　) A.2 B.9 C.65 D.513 解析:f(9)=f(9-3)=f(6)=f(3)=f(0)=20+1=2. A 2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) B 解析:f(x)=当x<a时,-x2+ax-2a2<0,∴2≥a. 当x≥a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),在(2,+∞)上f(x)>0. ①当a>0时,2a≤2,即0<a≤1;②当a=0时,f(x)=x2>0恒成立;③当a<0时,-a≤2,即-2≤a<0.综上,-2≤a≤1. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 B A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:①中,当x>0 时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,不是函数图象;②中,当x=x0 时,y的值有两个,不是函数图象;③④中,每一个x 的值对应唯一的y 值,是函数图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数y=的定义域为(　　) A.[0,2] B.(-∞,-3)∪(-3,2) C.(-∞,2) D.(-∞,-3)∪(-3,2] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于函数y=,则解得x≤2且x≠-3,所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知函数f(2x+1)=2x-x2-3,则f(3)等于(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析:令2x+1=3,得x=1, 则f(3)=2-1-3=-2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=则f=(　　) A.-1 B.2 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(x)=若f(f(0))=1,则a的值为(　　) A.1 B.0 C.-1 D.2 解析:因为f(f(0))=f(-e0)=f(-1)=a(-1)2=1,所以a=1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为当x<3时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2. 因为f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2), 则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5, f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13, f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34, f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89, f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377, f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987, f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000,则依次下去可知f(20)>1 000,则B正确; 且无证据表明A,C,D一定正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)已知函数f(x)=则(　 　) A.f(f())=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞) D.若∀x∈R,a>f(x),则a≥3 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,因为f()=-()2+3=0,所以f(f())=f(0)=2,所以A错误; 对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3,当x≥1时,由f(x)=-1,得 -x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍去),综上,x=2或x=-3,所以B正确; 对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1,综上,f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正确; 对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3),因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.函数y=的定义域为(-1,0)∪(0,2] B.f(x)=和g(x)=x表示同一个函数 C.函数y=的值域为 D.定义在R上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x+1,则f(x)=+1 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,由已知可得即即函数定义域为(-1,0)∪(0,2],故A正确; 对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数,故B不正确; 对于C,因为x2+3≥3,所以0<≤,故函数y=的值域为,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D,由2f(x)-f(-x)=x+1可得2f(-x)-f(x)=-x+1, 所以由 可得f(x)=+1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(多选)设f(x)是定义在R上的函数,若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f=,则称函数f(x)具有性质P.那么下列函数中,具有性质P的函数为(　 　) A.f(x)= B.f(x)=|x2-1| C.f(x)=x3+x D.f(x)=2|x| ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,在函数f(x)的图象上取A(-1,-1),B(0,0),C(1,1),有f(0)=成立,故A正确;对于B,在函数f(x)的图象上取A(-,1),B(0,1),C(,1),有f(0)=成立,故B正确;对于C,在函数f(x)的图象上取A(1,2),B(0,0),C(-1,-2),有f(0)=成立,故C正确;对于D,因为f(x)=2|x|,所以=≥=≥=f, 又x1≠x2,所以f<恒成立,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知函数f(x)=若f=-6,则实数a=　　　　　,f(2)=　　　　　.  解析:由题意得,f=3×+1=3, 所以f=f(3)=9+3a=-6, 所以a=-5,f(2)=4-5×2=-6. -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是　　　　　.  (-∞,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:根据题意作出函数f(x) 的大致图象如图所示,结合图象知,满足f(x+1)<f(2x),则 或 所以x<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)的解析式为f(x)= (1)求f,f ,f(-1)的值; 解:∵>1,∴f=-2×+8=5. ∵0<<1,∴f=+5=. ∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)画出这个函数的图象; 解:此分段函数的图象如图所示. 在函数y=3x+5的图象上截取x≤0的部分, 在函数y=x+5的图象上截取0<x≤1的部分, 在函数y=-2x+8的图象上截取x>1的部分. 图中实线组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)求f(x)的最大值. 解: 由函数图象可知,当x=1时,f(x)取最大值6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 B组　能力提升练 13.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:由题意得ax2+ax-3≠0 对任意实数x 都成立.当a=0 时,显然成立;当a≠0 时,满足Δ=a2+12a<0,解得-12<a<0.综上所述,实数a 的取值范围为 (-12,0]. (-12,0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)= (1)求f(f(-2))的值; 解:由函数f(x)= 可得f(-2)=22=4,所以f(f(-2))=f(4)=4+1=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求不等式f(x)≥2的解集. 解: 由不等式f(x)≥2,可得或解得x≤-1或x≥1, 故不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞). $$