第1章 第2节 常用逻辑用语-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第二节　常用逻辑用语 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.　 2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 记p：x∈A，q：x∈B，则 p是q的充分条件 p⇒q _________ p是q的必要条件 q⇒p _________ p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p _________ p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p _________ p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p _________ p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p _______________ _______________ A⊆B A⊇B A＝B A⫋B A⫌B A不包含于B 且A不包含B 知识梳理 知识点一　充分条件、必要条件与充要条件 5 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”. (2)存在量词：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”. 知识梳理 知识点二　全称量词与存在量词 6 2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，_________ ∃x∈M，_________ 存在量 词命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，_________ ∀x∈M，_________ p(x) ¬p(x) p(x) ¬p(x) 知识梳理 知识点二　全称量词与存在量词 7 1.命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是(　　) A.∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 B.∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 C.∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 D.∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根 C 自我评价 8 2.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是(　　) A.x＜2　　　　　　　 B.0＜x＜2 C.－2≤x≤2 D.x＞0 B 自我评价 9 3.(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有(　 　) A.有一个x∈R，使得x2＞3成立 B.对有些x∈R，使得x2＞3成立 C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 ABD 自我评价 10 4.(多选)下列说法中正确的是(　 　) A.当p是q的充分条件时，q是p的必要条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.“x＞1”是“x＞0”的充分不必要条件 D.命题“∃x∈R，sin2＋cos2”是真命题 ABC 自我评价 11 1.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 2.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 角度1　定义法判断充分、必要条件 [例1]　(1)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]　根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时取得等号，所以二者互为充要条件. C 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 14 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列； 乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 15 [解析]　充分性证明　甲：数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，所以， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 必要性证明　乙：为等差数列，设其公差为D，首项为S1，所以＝S1＋(n－1)D， 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 16 即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 所以当n≥2时，两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝a1＋2(n－1)D，n＝1时，上式成立， 于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D，为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 17 角度2　集合法判断充分、必要条件 [例2]　设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]　由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件. B 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 18 1.充分、必要条件的判断方法. 利用定 义判断 直接判断“若p，则q”的真假.在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的 角度判断 利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要性的问题 2.不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p ⇒q”⇔“若p，则q”为真命题. 方法总结 (2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或 a＝b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立.所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件. B 跟踪训练 [例3]　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并求解下列问题. 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}. 若__________，求实数a的取值范围.  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 21 [解]　由(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，所以B＝{x|－1＜x＜3}. 选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1＜a＜1，即a∈(－1，1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1＜a＜1，即a∈(－1，1). 考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 22 已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 方法总结 已知p：x≥a，q：|x＋2a|＜3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(－∞，－1) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 解析：因为q：|x＋2a|＜3，所以q：－2a－3＜x＜－2a＋3，记A＝{x|－2a－3＜x＜－2a＋3}；p：x≥a，记B＝{x|x≥a}.因为p 是q 的必要不充分条件，所以A⫋B，所以a≤－2a－3，解得a≤－1. A 跟踪训练 [例4]　(1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A.∀x∈R，|x|＞0 B.∃x∈R，|x|＞0 C.∀x∈R，|x|≤0 D.∃x∈R，|x|≤0 [解析]　命题“有些实数的绝对值是正数”可以写为“∃x∈R，|x|＞0”，它的否定是“∀x∈R，|x|≤0”. C 考点三　全称量词命题与存在量词命题 25 (2)(多选)下列命题中的真命题是(　 　) A.∀x∈R，＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 C.∃x∈R，lg x＜1 D.∃x∈R，tan x＝2 [解析]　指数函数的值域为(0，＋∞)， ∴∀x∈R，＞0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，∴∀x∈N*，(x－1)2＞0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0＜1，∴∃x∈R，lg x＜1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，∴∃x∈R，tan x＝2，故D正确. ACD 考点三　全称量词命题与存在量词命题 26 (3)已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范 围是(　　) A.{a|a＜1} B.{a|a≤1} C.{a|a＞1} D.{a|a≥1} [解析]　∵p为假命题，∴¬p为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1， ∴实数a的取值范围是{a|a≥1}. D 考点三　全称量词命题与存在量词命题 27 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其命题的否定的真假. 2.对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，一是改变量词符号，二是对结论进行否定，即“改变量词，否定结论”. 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 方法总结 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0， x3＝x，则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 解析：对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0＜1，故p是假命题， 对于q而言，取x＝1，则有x3＝x，故q是真命题， p是假命题，¬p是真命题，q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. B 跟踪训练 2.若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为 _______________.  解析：命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a＜0，解得a＜－， 即实数a的取值范围为. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 31 1.命题“∀x∈[－1，3]，x2－3x＋2＜0”的否定为(　　) A.∃x∈[－1，3]，x2－3x＋2≥0 B.∃x∈[－1，3]，x2－3x＋2＞0 C.∀x∈[－1，3]，x2－3x＋2≥0 D.∀x∈[－1，3]，x2－3x＋2≥0 解析：命题“∀x∈[－1，3]，x2－3x＋2＜0”， 由全称量词命题的否定为存在量词命题知： 原命题的否定为∃x∈[－1，3]，x2－3x＋2≥0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 32 2.下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.“xy＞0”是“x＋y＞0”的充要条件 C.命题“∃x∈R，使得x2＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜0” D.若“1＜x＜3”的一个必要不充分条件是“m－2＜x＜m＋2”，则实数m的取值范围是[1，3] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D A组　基础保分练 33 解析：x＝是无理数，x2＝2是有理数，A错误； 当x＝－2，y＝－1时，xy＞0，但x＋y＝－3＜0，不是充要条件，B错误； 命题“∃x∈R，使得x2＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误； “1＜x＜3”的必要不充分条件是“m－2＜x＜m＋2”，则两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 34 3.已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围 是(　　) A.－4＜a＜0　　 　　 B.－4≤a＜0 C.－4＜a≤0 D.－4≤a≤0 解析：命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题¬p：∀x∈R，ax2＋2ax－4＜0为真命题， 当a＝0时，－4＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，则a＜0且Δ＝(2a)2＋16a＜0，即－4＜a＜0. 综上可知，－4＜a≤0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 35 4.(2025·江苏苏州期中)下列说法中不正确的是(　　) A.“a＞1”是“a＞2”的必要不充分条件 B.命题“∀x∈R，x2＋2x＋2＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋2＜0” C.“若a，b∈R，a＋b＜8，则a＜4且b＜4”是假命题 D.设m，n∈R，则“m＝0或n＝0”是“mn＝0”的充要条件 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 36 解析：对于A，若a＞2，必有a＞1，反之，不成立，故“a＞1”是“a＞2”的必要不充分条件，A正确；对于B，命题“∀x∈R，x2＋2x＋2＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋2≤0”，B错误；对于C，若a，b∈R，a＋b＜8，不一定有a＜4且b＜4，有a＝6，b＝1，该命题为假命题，C正确；对于D，若“m＝0或n＝0”，必有“mn＝0”，反之，若“mn＝0”，必有“m＝0或n＝0”，故“m＝0或n＝0”是“mn＝0”的充要条件，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 37 5.(2025·陕西咸阳模拟)下列命题中，真命题是(　　) A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的必要条件 B.∀x＞0，ex＞2x C.∀x＞0，2x≥x2 D.a＋b＝0的充要条件是＝－1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B A组　基础保分练 38 解析：对于A，当a＝2，b＝1时，满足ab＞1，但不满足a＞1，b＞1，故“a＞1，b＞1”不是“ab＞1”的必要条件，故错误； 对于B，根据指数函数的性质可得，对于∀x＞0，＞1，即ex＞2x，故正确； 对于C，当x＝3时，2x＜x2，故错误； 对于D，当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 39 6.(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是(　　) A.－＜x＜2 B.－＜x＜4 C.－3＜x＜ D.－1＜x＜6 解析：解－＜5x－3＜12，得－＜x＜3，当x满足－＜x＜3时，满足－＜x＜4和－1＜x＜6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 BD A组　基础保分练 40 7.(多选)(2025·江苏无锡期中)下列命题中为真命题的是(　　) A.“x＞4”是“x＜5”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2－4ac＞0” D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 AD A组　基础保分练 41 解析：对于A，x＞4不能推出x＜5，由x＜5也不能推出x＞4，则“x＞4”是“x＜5”的既不充分又不必要条件，故A为真命题； 对于B，三角形为正三角形能推出三角形为等腰三角形，但三角形为等腰三角形不能推出三角形为正三角形，则“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B为假命题； 对于C，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，则b2－4ac≥0，则b2－4ac＞0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充分不必要条件，故C为假命题； 对于D，设a，b∈R，a≠0不能推出ab≠0，但ab≠0能推出a≠0，则D为真命题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 42 8.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·在R上为偶函数 B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 D.∀x∈(0，＋∞)，x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 AC A组　基础保分练 43 解析：当a＝1时，y＝2x＋为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋ cos x＋sin，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故C为真命题；当x＝时，∈(0，1)，lo＝1，∴，故D为假命题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 44 9.已知p：－2≤x≤2，q：1－m≤x≤m－1，若p是q的充分不必要条件， 则实数m的取值范围为_____________.  解析：因为p：－2≤x≤2，q：1－m≤x≤m－1， 若p是q的充分不必要条件， 则前两不等式等号不能同时取得，解得m＞3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 {m|m＞3} A组　基础保分练 45 10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：_______________________.  解析：因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 存在一个素数不是奇数 A组　基础保分练 46 11.已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是____________.  解析：由2x＋p＞0，得x＞－， 令A＝. 由x2－x－2＞0，解得x＞2，或x＜－1，令B＝{x|x＞2，或x＜－1}， 由题意知A⊆B，即－≥2， 解得p≤－4， ∴实数p的取值范围是(－∞，－4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (－∞，－4] A组　基础保分练 47 12.下列命题中的真命题是(　　) A.∃x∈R，使得sin x＋cos x＝ B.∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1 C.∃x∈(－∞，0)，2x＜3x D.∀x∈(0，π)，sin x＞cos x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B B组　能力提升练 48 解析：∵sin x＋cos x＝sin，故A错误；设f(x)＝ex－x－1，则f'(x)＝ex－1. ∵当x∈(0，＋∞)时，f‘(x)＞0， ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数. 又f(0)＝0， ∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞0，即ex＞x＋1，故B正确； 当x＜0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；当x∈时，sin x＜cos x，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 13.设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2.又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C B组　能力提升练 50 14.已知函数f(x)＝，g(x)＝asin x＋2a(a＞0)，若对任意x1∈[0，2]， 总存在x2∈[0，2]使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是__________.  解析：∵x∈[0，2]， ∴f(x)＝＝－4＋∈[－1，5]. ∵x∈[0，2]，a＞0，∴g(x)∈[2a，3a]， 由题意得[2a，3a]⊆[－1，5]， ∴∴0＜a≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 51 $$