第1章 提升课2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

提升课2　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围; [解]　f(x)=x2-3x+a=+a-, 则f(x)min=f=a-, f(x)>0在x∈R上恒成立,即f(x)min=a->0,故a>. 故实数a的取值范围是. 考点一　一元二次不等式恒(能)成立问题 (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立,求实数a的取值范围. [解]　f(x)=x2-3x+a=+a-, f(x)在[-1,2]上的最大值为f(x)max=f(-1)=+a-=4+a, 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4+a,故4+a≤0,解得a≤-4. 故实数a的取值范围是(-∞,-4]. 方法总结 恒成立问题求参数的范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. 2.一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论. 跟踪训练 1. 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2]　　　　　　　 B.[-2,2] C.(-2,2] D.(-∞,-2) C 解析:当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立. 当a≠2时,则 即解得-2<a<2. 所以实数a的取值范围是(-2,2]. 2.若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1] A 解析:法一(函数法):令f(x)=x2-2x+a,则由题意, 得解得a≤-3. 法二(最值法):当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3. 3.对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围. 解:f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知,在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, 所以解得x<1或x>3. 故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零. 考点二　 一元二次方程根的分布 [例2]　已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围; [解]　依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得即 解得-<m<-. 故实数m的取值范围为. (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围. [解]　依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图, 解得-<m<1-. 故实数m的取值范围为. 方法总结 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 跟踪训练 1.已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,则m的值可能为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 B 解析:令f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3, 则f(1)=m+2-2m-4+3m+3=2m+1, 由题可知,m≠-2,且(m+2)f(1)<0, 即(m+2)(2m+1)<0,解得-2<m<-. 2.方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:∵x2-2ax+4=0的两个根都大于1, ∴解得2≤a<. 可求得实数a的取值范围为. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.若命题“∃x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是(　　) A.[2,6]　　　　　　　　 B.[-6,-2] C.(2,6) D.(-6,-2) 解析:Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6. A A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为(　　) A.∪ B.(-∞,0)∪ C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:显然a=0时,不等式不恒成立; 因为不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立, 则即解得a>,所以实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为(　　) A. B. C. D.R 解析:设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得<x<. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若存在x∈[0,1],不等式x2-4x-m≥0成立,则m的最大值为(　　) A.0 B.1 C.-3 D.3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意得,当x∈[0,1]时,m≤(x2-4x)max. 令f(x)=x2-4x,x∈[0,1], 由f(x)=x2-4x=(x-2)2-4可知,当x=0时, f(x)max=f(0)=0, 所以m≤0,故m的最大值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知命题p:“∀x∈R,(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”为真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.-1<a<2 B.a≥1 C.a<-1 D.-1≤a<2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:当a=-1 时,3>0恒成立,符合题意; 解得-1<a<2. 综上所述,-1≤a<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)∪(6,+∞) C.(7,+∞) D.(-∞,-3) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)已知一元二次方程x2+(m+1)x+=0(m∈Z)有两个实数根x1,x2,且0<x1<1<x2<3,则m的值为(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设f(x)=x2+(m+1)x+, 由0<x1<1<x2<3, 解得-<m<-. 又因为m∈Z,得m=-3或m=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知对任意x∈[-1,1],使得不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范 围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立. 所以≥m,x∈[-1,1]. 设y=x2-x+,x∈[-1,1], 因为y=x2-x+=+, 所以当x=时,函数y=x2-x+,x∈[-1,1]取最小值,最小值为, 所以m≤, 故实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1,-2m)上恒成立,则实数m的取 值范围是　　　　　.  解析:由题意得x2-4x-4<1,解得-1<x<5,即x∈(-1,5).因为f(x)<1 在区间(m-1,-2m) 上恒成立,所以(m-1,-2m)⊆(-1,5),所以 解得0≤m<,即m∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(2025·辽宁营口模拟)若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在{x|1<x<4}上有解,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:不等式2x2-8x-4-a>0在{x|1<x<4}上有解等价于a<2x2-8x-4在{x|1<x<4}上有解,即a<(2x2-8x-4)max,x∈(1,4).因为2x2-8x-4=2(x-2)2-12<2×(4-2)2-12=-4,故a<-4,即a∈(-∞,-4). (-∞,-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ax2+x+2-4a(a≠0),且对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立. (1) 求函数f(x)的解析式; 解:由题意得ax2-x+2-4a≥0 对任意的x∈R恒成立, 所以 即 解得a=,所以f(x)=x2+x+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x+t)<f恒成立,求实数t的取值范围. 解: 由f(x+t)<f 得(x+t)2+(x+t)+1<×++1,即3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0, 所以对任意的x∈[-1,1], 不等式3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0 恒成立. 令m(x)=3x2+(8t+8)x+4t2+16t,x∈[-1,1], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则 解得-<t<-, 所以实数t 的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知函数f(x)=ax2+3x-2,且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2). (1)求a,b的值; 解:由题意得,a<0,且b,2为方程ax2+3x-2=0的两根, 所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若对于任意的x∈[-1,2],不等式f(x)≥2+m恒成立,求实数m的取值范围. 解: 由(1)可得,不等式f(x)≥2+m可化为-x2+3x-2≥2+m, 所以m≤-x2+3x-4. 因为对于任意的x∈[-1,2],不等式f(x)≥2+m恒成立, 所以对于任意的x∈[-1,2],不等式m≤-x2+3x-4恒成立, 即m≤(-x2+3x-4)min,x∈[-1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为y=-x2+3x-4=--,x∈[-1,2], 所以当x=-1时,y=-x2+3x-4取最小值,最小值为-8, 所以m≤-8, 故实数m的取值范围为(-∞,-8]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则m的取值范围是(　　) A.m≤-4或m≥4 B.-5<m≤-4 C.-5≤m≤-4 D.-5<m<-2 B B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则 (1)当Δ=(m+2)2-4(m+5)=0,即m=±4, 当m=-4时,方程为(x-1)2=0时,x=1,符合题意; 当m=4时,方程为(x+3)2=0时,x=-3不符合题意, 故m=-4成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当Δ=(m+2)2-4(m+5)>0,解得m<-4或m>4, 综上得-5<m≤-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.关于x的一元二次方程x2+kx+2k-1=0在区间(-1,2)内、外各有一个实 数根,则实数k的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:x2+kx+2k-1=0在区间(-1,2)内、外各有一个实数根, 令f(x)=x2+kx+2k-1, 当x=-1,x=2不是方程的根时,所以 解得-<k<0; 当x=-1是方程的根时,得1-k+2k-1=0⇒k=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此时方程变为:x2-1=0,解得x=1或x=-1, x=1在区间(-1,2)内,x=-1在区间(-1,2)外,符合题意; 当x=2是方程的根时,得4+2k+2k-1=0⇒k=-, 此时方程变为x2-x+2×-1=0, 解得x=2或x=-, 此时方程的两根均在区间(-1,2)外,不符合题意. 所以实数k的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知函数f(x)=mx2+mx+3,m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立,求实数m的取值范围; 解:依题意,mx2+mx+3>0在实数集R上恒成立. ①当m=0时,3>0,成立; ②当m≠0时,要使原不等式恒成立, 则解得0<m<12. 综上,0≤m<12, 故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)解关于x的不等式f(x)>(3m-1)x+5. 解: 不等式f(x)>(3m-1)x+5, 等价于mx2+(1-2m)x-2>0, 即(x-2)(mx+1)>0. ①当m>0时,解得x>2或x<-; ②当m=0时,不等式整理为x-2>0,解得x>2; ③当m<0时,方程(x-2)(mx+1)=0的两根为x1=-,x2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (ⅰ)当->2,即-<m<0时,解得2<x<-; (ⅱ)当-=2,即m=-时,原不等式的解集为⌀; (ⅲ)当-<2,即m<-时,解得-<x<2. 综上所述,当m<-时,原不等式的解集为; 当m=-时,原不等式的解集为⌀; 当-<m<0时,原不等式的解集为; 当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2}; 当m>0时,原不等式的解集为. 得即 当a≠-1 时,需满足 解析:设t=2x,则t>0,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t1,t2,且t1∈(1,2),t2∈(4,+∞), 所以即解得m>7. 可得即 则解得-5<m<-4. $$