第1章 第1节 集合-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（苏教版）

第一节　集合 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.　 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 元素与集合的含义 一般地，一定范围内某些________、________对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的________，简称元 集合中元素的特征 ________性、________性、________性 集合的表示方法 ________法、________法和图示法 特定集合的记法 自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R 元素与集合之间的关系 “属于”或“不属于”，记为“________”或“________” 确定的 不同的 元素 确定 互异 无序 列举 描述 ∈ ∉ 知识梳理 知识点一　集合的概念与表示 5 1.子集：如果集合A的______________都是集合B的元素(若a∈A，则 a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A_______B或B________A. 2.真子集：如果集合________，并且________，那么集合A称为集合B的真子集，记为A________B或B________A. 3.相等：若A⊆B，且________，则A＝B. 4.空集：不含任何元素的集合称为空集，记为⌀.空集是__________的子 集，是________________的真子集. 任意一个元素 ⊆ ⊇ A⊆B A≠B ⫋ ⫌ B⊆A 任何集合 任何非空集合 知识梳理 知识点二　集合间的基本关系 6 运算 交集 并集 补集 Venn图       符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 知识梳理 知识点三　集合的基本运算 7 1.下列结论正确的是(　　) A.集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1} B.{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1} C.若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1 D.对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B) D 自我评价 8 2.(多选)已知集合A＝{x|x≤2，x∈R}，a＝，b＝2，则(　　) A.a∈A　　 　　 B.a∉A C.b∈A D.b∉A BC 自我评价 9 3.(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B ＝(　　) A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{－1，0，1，4} C 自我评价 10 4.已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__________.  [2，＋∞) 自我评价 11 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集. 2.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 4.容斥原理：n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)(n(A)表示A中元素个数). 常用结论 12 关键能力　重点探究 13 [例1]　(1)(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x， y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为__________.  [解析]　B＝{(2，1)，(4，2)}，共2个. 2 考点一　集合的含义与表示 14 (2) 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 026＝__________.  [解析]　由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1， 所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. 0 考点一　集合的含义与表示 15 确定集合的注意点 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 方法总结 16 1.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元 素的个数为(　　) A.3　　　　　　　　 B.4 C.5 D.6 解析：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5，6，7，8}.即C中元素的个数为4. B 跟踪训练 17 2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________.  解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－. － 跟踪训练 18 [例2]　(1)已知集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|1－log2x＜0}，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B＝⌀ D.A∪B＝R [解析]　因为集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|1－log2x＜0}＝{x|x＞2}， 所以A⊆B. A 考点二　集合间的基本关系 19 (2)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}.若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.－1 [解析]　若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意. 综上所述，a＝1. B 考点二　集合间的基本关系 20 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 方法总结 21 1.已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合 M，N的关系是(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM 解析：因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⫋M. B 跟踪训练 22 2.设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，当x∈Z时， 集合A的非空真子集的个数为__________，当B⊆A时，实数m的取值范围是_________________________________.  解析：易得A＝{x|－2≤x≤5}. 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝⌀，B⊆A； ②当m＞－2时，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}≠⌀， 因此，要使B⊆A，则需解得－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m≤2}. 254　 {m|m≤－2，或－1≤m≤2} 跟踪训练 23 角度1　集合的基本运算 [例3]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3， －1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} [解析]　法一：因为A＝{x|－5＜x3＜5}＝{x|－＜x＜}， 而B＝{－3，－1，0，2，3}，又1＜＝2，所以－2＜－＜－1，所以A∩B＝{－1，0}. 法二：因为B＝{－3，－1，0，2，3}，将每个元素代入不等式－5＜x3＜5， 只有－1，0，使得不等式成立. A 考点三　集合的基本运算 24 (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}， 则∁A(A∩B)＝(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} [解析]　因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1， 4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}. D 考点三　集合的基本运算 25 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 [解析]　A＝{x|－2≤x≤2}， B＝. 由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，所以a＝－2. B 考点三　集合的基本运算 26 (2)(多选)已知集合A＝{x|x＋1≤0}，B＝{x|x≥a}.若A∪B＝R，则实数a 的值可以为(　　) A.2 B.－1 C.0 D.－2 [解析]　∵A＝{x|x≤－1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R， ∴a≤－1，∴实数a的值可以为－1，－2. BD 考点三　集合的基本运算 27 利用集合的运算求参数的方法 1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 方法总结 28 1.若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{x|x≥2}，则(∁RA)∪B＝(　　) A. B.⌀ C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 解析：因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以∁RA＝.又B＝{x|x≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞). C 跟踪训练 29 2.图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.∁U(A∪C)∩B B.(A∪B)∪(B∪C) C.(A∪C)∩(∁UB) D.∁U(A∩C)∪B 解析：由Venn图可知阴影部分所表示的集合为集合A，C的并集与集合B在全集U中补集的交集，即为(A∪C)∩(∁UB). C 跟踪训练 30 3.已知集合A，B满足A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜a－1}.若A∩B＝⌀，则实数 a的取值范围为(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) 解析：因为集合A，B满足A＝{x|x＞1}， B＝{x|x＜a－1}，且A∩B＝⌀， 则a－1≤1，解得a≤2. B 跟踪训练 31 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 教材延展　集合的新定义 32 [例]　(2025·云南保山模拟)定义集合运算：A＋B＝{z|z＝x＋y，x∈A， y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A＋B的所有元素之和为 (　　) A.14 B.15 C.16 D.18 [解析]　由题设知A＋B＝{2，3，4，5}， ∴所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14. A 教材延展　集合的新定义 33 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义， 结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 方法总结 34 (多选)所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与 N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一 个元素，则称(M，N)为戴德金分割，试判断下列选项中，可能成立的 是(　　) A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M没有最大元素，N也没有最小元素 BD 跟踪训练 35 解析：对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，所以A错误；对于B，若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则a＜b，则M＝{x∈Q|x≤a}，N＝{x∈Q|x≥b}，而(a，b)内也有有理数，则M∪N≠Q，故C错误；对于D，若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确. 跟踪训练 36 课时作业　巩固提升 37 1.(2025·江苏南通月考)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝ {1，2}，B＝{－1，0，1}，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{－2，3}　　　　　　 B.{－2，2，3} C.{－2，－1，0，3} D.{－2，－1，0，2，3} 解析：集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{－1，0，1}， ∴A∪B＝{－1，0，1，2}，则∁U(A∪B)＝{－2，3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A A组　基础保分练 38 2.集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析：A＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}，故子集个数为22＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 39 3.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B， 则下列集合中表示空集的是(　　) A.(∁UA)∩B B.A∩B C.(∁UA)∩(∁UB) D.A∩(∁UB) 解析：由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB) ＝∁UB，A∩(∁UB)＝⌀. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 D A组　基础保分练 40 4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x －6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 解析：由x2－x－6≥0，得x≥3或x≤－2， ∴N＝{x|x≥3，或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C A组　基础保分练 41 5.(2025·江苏南京模拟)设集合M＝，N＝ ，则(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M＝N D.M∩N＝⌀ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B A组　基础保分练 42 解析：法一(特殊值验证法)： 因为0∈M，0∉N，所以A，C不正确；因为∈M，∈N，所以D不正确. 法二(观察法)： 集合M＝，N＝(k∈Z)的分子表示所有整数，(k∈Z)的分子表示所有奇数，显然奇数是整数的一部分，所以N⫋M. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 43 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} B.⌀与{0}是同一个集合 C.集合{x|y＝x2－1}与集合{y|y＝x2－1}是同一个集合 D.集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{－2，－3}是同一个集合 解析：对于A，根据集合元素的无序性可得{1，2，3}，{3，2，1}表示同一集合，元素有1，2，3，故A正确；对于B，{0}不是空集，故B错误；对于C，{x|y＝x2－1}＝R，而{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，故两个集合不是同一个集合，故C错误；对于D，{x|x2＋5x＋6＝0}＝{－2，－3}，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 AD A组　基础保分练 44 7.(多选)已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则(　　) A.M∪N＝N B.M∩N＝N C.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M＝⌀ 解析：因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝⌀，C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 AD A组　基础保分练 45 8.(多选)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0， 1，2}，则下列结论正确的是(　 　) A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x|x≥0} C.(∁UA)∩B＝{－1} D.A∩B的真子集个数是7 解析：A＝，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝，所以(∁UA)∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B 的真子集个数是23－1＝7.故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ACD　 A组　基础保分练 46 9.(多选)(2025·江苏苏州期中)设全集U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合 A＝{0，1，2}，B＝{2，4}，C＝{－1，3}，则下列说法正确的是(　　 ) A.集合A的真子集个数是7 B.A∪B＝{0，1，2，4} C.(∁UA)∩(∁UC)＝⌀ D.B⊆∁UC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 ABD A组　基础保分练 47 解析：对于A选项，集合A的元素个数为3，则集合A的真子集个数是23－1＝7，A正确； 对于B选项，因为A＝{0，1，2}，B＝{2，4}，则A∪B＝{0，1，2，4}，B正确； 对于C选项，因为全集U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，C＝{－1，3}， 则∁UA＝{－1，3，4}，∁UC＝{0，1，2，4}， 则(∁UA)∩(∁UC)＝{4}，C错误； 对于D选项，由C选项可知，因为B＝{2，4}， ∁UC＝{0，1，2，4}， 则B⊆∁UC，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A组　基础保分练 48 10.已知集合A＝{4，－2m}，B＝{4，m2}，且A＝B，则m的值为__________.  解析：因为A＝B，所以m2＝－2m，解得m＝0或－2，当m＝－2时，m2＝－2m＝4， 而集合的元素具有互异性，故m≠－2，所以m＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 0 A组　基础保分练 49 11.设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}.已知A∩B＝{9}，则 a＝__________，A∪B＝___________________________.  解析：因为A∩B＝{9}，所以9∈A， 所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5. 当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去. 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－4，－7，－8，4，9}. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去. 综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 －3　 {－7，－4，－8，4，9} A组　基础保分练 50 12.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A， 则实数m的取值范围是__________.  解析：因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝⌀⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠⌀， 由B⊆A可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 综上所述，m≤4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 (－∞，4] A组　基础保分练 51 13.已知集合A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}.若A∪B＝R，且 A∩B＝[－2，－1)，则p，q的值分别为(　　) A.－1，－6 B.1，－6 C.3，2 D.－3，2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 A B组　能力提升练 52 解析：由|x－1|＞2可得x－1＞2或x－1＜－2， 解得x＞3或x＜－1， 所以A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞). 又因为A∪B＝R，A∩B＝[－2，－1)， 所以B＝[－2，3]， 所以－2，3是方程x2＋px＋q＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得p＝－1，q＝－6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 53 14.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳， 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜 欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62%　 B.56% C.46%　 D.42% 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 C B组　能力提升练 54 解析：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z， 由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46， ∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 55 15.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则 A∩B中元素的个数为__________.  解析：根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 4 B组　能力提升练 56 16.定义P☉Q＝，已知P＝{0，－2}，Q＝ {1，2}，则P☉Q＝_____________________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 B组　能力提升练 57 解析：x，y取不同值时z的值如下表所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 　　y 　z　 x　　 1 2 0 10＋＝1 20＋＝1 －2 1－2＋＝－1 2－2＋＝－ 所以P☉Q＝. B组　能力提升练 58 $$