第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第四节　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　 2.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.基本不等式成立的条件：_____________. 2.等号成立的条件：当且仅当_________时，等号成立. 3.其中_________叫做正数a，b的算术平均数，_______叫做正数a，b的几何平均数. a＞0，b＞0 a＝b 知识梳理 知识点一　基本不等式：≤ 5 1.已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最 小值_________. 2.已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_________. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 S2 知识梳理 知识点二　利用基本不等式求最值 6 1.设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A.4　　　　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 解析：因为a＞0，所以9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时等号成立，所以9a＋的最小值为6. C 自我评价 7 2.若函数f (x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 解析：当x＞2时，x－2＞0，f (x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时等号成立，即当f (x)取得最小值时x＝3，即a＝3. C 自我评价 8 3.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D.1 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0， 所以x(1－x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立， 故x(1－x)的最大值为. A 自我评价 9 4.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为__________.  解析：由x＋y＝1得(x＋y)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＝y＝时等号成立，即的最小值为4. 4 自我评价 10 几个重要的不等式 1.≥2(a，b同号). 2.ab≤(a，b∈R). 3.≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 常用结论 11 关键能力　重点探究 12 [例1]　(1)数学中很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形 可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a＞0，b＞0) B.a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C.≥(a＞0，b＞0) D.≥(a＞0，b＞0) C 考点一　基本不等式的理解及常见变形 13 [解析]　根据图形，利用射影定理得 CD2＝DE·OD， 又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝， 由于OD≥CD， 所以≥(a＞0，b＞0). 由于CD≥DE， 所以≥(a＞0，b＞0). 考点一　基本不等式的理解及常见变形 14 (2)对于下列判断，正确的是(　　) A.不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的 B.y＝x＋的最小值是2 C.若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4 D.函数y＝cos x＋，x∈的最小值为4 [解析]　A错误，前者成立的条件是a，b∈R，后者成立的条件是a≥0，b≥0.B错误，x可以是负数.D错误，由于cos x＝时，cos x＝2无解，故cos x＋的最小值不为4. C 考点一　基本不等式的理解及常见变形 15 基本不等式的常见变形 1.ab≤≤. 2.≤　≤≤ (a＞0，b＞0). 方法总结 (多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.≥　　　　　　 B.≤ C.≤ D.ab≤ BD 跟踪训练 解析：A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a＋b＞0时，＞0，则≤0恒成立，即≤ 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； 跟踪训练 C选项，当a＋b＞0时，2ab－≤0，即2ab≤≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－≤0，即2ab≤≥，故C选项错误； D选项，当a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 跟踪训练 角度1　配凑法求最值 [例2]　函数f (x)＝的最小值为__________.  [解析]　函数f (x)＝ 的定义域为(1，＋∞)，f (x)＝≥2＝4，当且仅当，即x＝5 时取等号，故当x＝5 时，f (x)取得最小值，且最小值为4. 4 考点二　利用基本不等式求最值 20 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值. 方法总结 角度2　常数代换法求最值 [例3]　已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 考点二　利用基本不等式求最值 22 [解析]　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以 ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ 考点二　利用基本不等式求最值 23 ≥ ＝1. 当且仅当即时取等号. 综上，的最小值为1. 考点二　利用基本不等式求最值 24 常数代换法求解最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2.把确定的定值(常数)变形为1. 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. 4.利用基本不等式求解最值. 方法总结 角度3　利用消元法求最值 [例4]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.  [解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy. 因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，所以x＋3y＋≥9，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 6 考点二　利用基本不等式求最值 26 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时，等号成立，所以x＋3y的最小值为6. 考点二　利用基本不等式求最值 27 当所求最值的代数式中的变量有多个时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值. 方法总结 角度4　构造不等式法求最值 [例5]　若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A.9 B.6 C.3 D.12 [解析]　因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立. 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去). 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的最小值为9. A 考点二　利用基本不等式求最值 29 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值. 方法总结 1.已知x＞1，则的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 解析：因为x＞1，所以x－1＞0， ＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立. A 跟踪训练 2.已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A. B. C.2 D.2 解析：因为4a2＋b2＝7，则a×2a×≤＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立. D 跟踪训练 3.若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. 解析：法一：a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤＋(a＋2b)，当且仅当a＝2b 时取等号，因此(a＋2b)2＋4(a＋2b)－12≥0，即(a＋2b＋6)(a＋2b－2)≥0，解得a＋2b≥2， 所以当a＝2b＝1 时，a＋2b取得最小值2. C 跟踪训练 法二：因为2ab＋a＋2b＝3，所以a＝， 所以a＋2b＝－1＋＋2b＝＋(2b＋1)－2≥2－2＝2，当且仅当＝2b＋1，即b＝，a＝1时取等号，故a＋2b 的最小值为2. 法三：因为2ab＋a＋2b＝3，所以(2b＋1)(a＋1)＝4，所以a＋2b＝(2b＋1)＋(a＋1)－2≥2－2＝2，当且仅当2b＋1＝a＋1，即b＝，a＝1时取等号，故a＋2b 的最小值为2. 跟踪训练 三元基本不等式的形式 如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取等号). 如果a，b，c∈R＋，那么≥ (当且仅当a＝b＝c时取等号). 称为正数a，b，c的算术平均，称 为正数为a，b，c的几何平均. 用三元均值不等式≥ 和a3＋b3＋c3≥3abc求最值时的使用条件是“一正、二定、三相等”. 教材延展 三元基本不等式 [例]　设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值. [解]　由于a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 所以0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1. 所以(1－a)(1－b)(1－c) ≤， 当且仅当1－a＝1－b＝1－c， 即a＝b＝c＝时，原式取得最大值. 教材延展 三元基本不等式 1.若x＞0，则4x＋的最小值是(　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 解析：4x＋＝2x＋2x＋≥3＝3，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立. B 跟踪训练 2.已知θ为锐角，求函数y＝sin θ·cos2θ的最大值. 解：∵y2＝sin2θ cos2θ cos2θ＝×2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)≤， 当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ， 即sin θ＝时，等号成立， ∴ymax＝. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 39 1.下列函数中最小值为4的是(　　) A.y＝x2＋2x＋4　　　　　 B.y＝2x＋22－x C.y＝|sin x|＋ D.y＝ln x＋ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 40 解析：对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确； y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号， 由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立， 故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故C错误； 对于y＝ln x＋，由于ln x可能小于0， 即y＝ln x＋的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 41 2.已知正数x，y满足＝2，则x＋y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2＋ D.2＋ 解析：因为正数x，y满足＝2， 所以x＋y＝(x＋y)≥＝2＋，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立，所以x＋y的最小值为2＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 42 3.若xy＞0，则的最小值是(　　) A.3 B. C.4 D. 解析：＝x2＋＋y2＋≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝，y2＝同时成立，即x＝y＝± 时，等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 43 4.若x＞0，y＞0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A.x＝y B.x＝2y C.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝1 解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2， 当且仅当x＝2y时取等号. 故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 44 5.已知函数y＝(x＞0)，则y的最大值为(　　) A.2＋4 B.2 C.2－4 D.4 解析：函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2， ∵x＞0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 故y＝－＋2≤－4＋2， 则y的最大值为2－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 45 6.(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　 ) A.y＝sin x＋ B.y＝2－x－(x＜0) C.y＝ D.y＝4x＋4－x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 46 解析：对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝，设t＝，则t≥，则y≥，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 47 7.(多选)已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，则(　　) A.xy的最大值为 B.的最大值为 C.的最小值为4 D.x2＋y2的最小值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 48 解析：x＋2y＝1≥2，即xy≤，故A正确； 当x＝，y＝时，，故B错误； ＝(x＋2y)＝3＋≥3＋2， 故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 49 8.(多选)若x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，则(　 　) A.＞1 B.x＋2y＋xy≥9＋6 C.xy≤8 D.≥2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABD A组　基础保分练 50 解析：已知x＞0，y＞0，∵2x＋y＝xy， ∴＝1. ∴＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋≥9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时，等号成立，故B正确； 2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时等号成立，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 51 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1＞0，y－2＞0， 则≥2＝2， 当且仅当，即x＝2，y＝4时，等号成立，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 52 9.已知函数f (x)＝3x＋(a＞0)的最小值为5，则a＝________.  解析：f (x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时，等号成立，∴a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时，等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 9 A组　基础保分练 53 10.已知a＞0，b＞0且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__________.  解析：由ab＝a＋b＋3得(a－1)(b－1)＝4，由(a－1)b＝a＋3 得a＞1，同理b＞1，所以a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2＋2＝6，当且仅当a－1＝b－1，即a＝3，b＝3时取等号，a＋b取得最小值6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 6 A组　基础保分练 54 11.(2025·江西南昌模拟)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最 小值为____________.  解析：法一：∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴＝1，∴8a＋b＝(8a＋b)＋40≥2＋40＝72，当且仅当，即a＝6，b＝24时取等号. 法二：∵8a＋4b＝ab，∴b＝＞0.∵a＞0，∴a＞4， ∴8a＋b＝8a＋＝8≥8×(2＋5)＝72，当且仅当a＝6时取等号. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 72 A组　基础保分练 55 12.已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是_________.  解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6， ∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 3 A组　基础保分练 56 13.已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝，则a＋2b的最大值为(　　) A. B. C.3 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A B组　能力提升练 57 解析：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝， ∴(a＋2b)2＝2ab＋4＝a·2b＋4≤＋4， 化简得(a＋2b)2≤， 解得0＜a＋2b≤， 当且仅当 即a＝2b＝时取等号， 故a＋2b的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 58 14.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为_________.  解析：因为a＞0，b＞0，a＋2b＝1，所以(a＋2)＋(2b＋2)＝5， 所以 ＝[(a＋2)＋(2b＋2)]× ＝ ≥， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立.故 的最小值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 59 15. 设a＞b＞0，则a2＋的最小值是__________.  解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0， a2＋＝a2＋ab－ab＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝，b＝时，等号成立. ∴a2＋的最小值是4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 4 B组　能力提升练 60 $$