第1章 提升课1 基本不等式的综合应用-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

提升课1　基本不等式的综合应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 内容索引 课时作业　巩固提升 2 [例1]　某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 考点一　基本不等式的实际应用 [解]　由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为x+-200≥ 2-200=100,当且仅当x=,即x=300时等号成立,故该单位每月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. (2)该单位每月能否获利,如果获利,最大利润为多少元? [解]　获利.设该单位每月获利为s元,则s=200x-y=-x2+400x-45 000= -(x-400)2+35 000.因为x∈[300,600],所以s∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为35 000元. 方法总结 利用基本不等式求解实际问题的两个注意点 1.利用基本不等式解决实际问题时,应明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解. 跟踪训练 2024年6月5日是第53个世界环境日,我国环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”,某高中准备设计一副宣传画,要求画面面积为4 840 cm2,画面高与宽的比为a(a<1),画的上下部分各留出5 cm的空白,左右部分各留出8 cm的空白. 如何确定画面的高与宽,使得宣传画所用纸张的面积最小?并求出此时a的值. 解:设纸张的面积为S,画面的高为x cm(x>0),则宽为 cm, 根据题意得S=(x+10)=5 000+16x+≥5 000+ 2=6 760, 当且仅当16x=,即x=55 时等号成立,所以画面的高为55 cm,宽为=88 cm时,宣传画所用纸张的面积最小,此时a==. [例2]　(1)已知x>0,y>0,且+=1.若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-1)∪(9,+∞) B.(-∞,-1]∪[9,+∞) C.(-9,-1) D.[-9,1] A 考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [解析]　因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解,则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). (2)若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞)　　　　　　　 B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) C [解析]　令f(x)=, 由题意可得a≤f(x)min, f(x)=x++3≥2+3=5, 当且仅当x=,即x=1时等号成立, 所以a≤f(x)min=5, 所以实数a的取值范围为(-∞,5]. 跟踪训练 对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为(　　) A.{m|-2<m<2} B.{m|m>2} C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2} C 解析:因为对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立, 即mx<x2+1对任意的x∈(-∞,0)恒成立, 即m>=x+对任意的x∈(-∞,0)恒成立. 因为x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 所以x+=-≤-2=-2, 当且仅当-x=,即x=-1时取等号, 所以m>-2. [例3]　(1)已知二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点,则+的最小值为(　　) A. B.2 C.3 D.4 B 考点三　基本不等式与其他知识交汇问题 [解析]　依题意,二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点, 令ax2-2x+2b=0, 所以Δ=(-2)2-4a·2b=0,所以ab=1. 因为a>0,所以b>0, 所以+≥2=2,当且仅当=, 即a=,b=时,等号成立. (2)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上,则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A.4π B.8π C.12π D.16π B [解析]　设底面圆半径为r,则圆柱的高为2, 圆柱侧面积为S=2πr·2=4πr≤4π·=8π,当且仅当r=,即r=时等号成立. 方法总结 基本不等式常作为工具,与函数、导数、数列、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇,常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 跟踪训练 1.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为(　　) A. B.2 C.3 D.4 B 解析:由题意,得p=5,S====·≤·=×=2, 当且仅当a=b=3时,等号成立, ∴此三角形面积的最大值为2. 2.若直线ax+y=0与直线2x+by-1=0平行,其中a,b均为正数,则a+2b的最小值为　　　　　.  解析:由两直线平行可得ab=2, 因为a,b均为正数, 所以利用基本不等式可得a+2b≥2=4, 当且仅当a=2,b=1时,等号成立. 故a+2b的最小值为4. 4 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13　　　　　　　　　 B.12 C.9 D.4 C A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为|MF1|+|MF2|=6, 所以|MF1|·|MF2|≤==9, 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立, 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知圆(x-1)2+(y-2)2=4关于直线ax+by-2=0(a>0,b>0)对称,则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题知,圆心(1,2)在直线ax+by-2=0上, ∴a+2b=2. 又a>0,b>0,∴2=a+2b≥2, ∴ab≤,当且仅当a=2b,且a+2b=2,即a=1,b=时等号成立,∴ab的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知2a=3,3b=4,ac=b,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c D 解析:由题可知,a=log23,b=log34, 易知a,b∈(1,+∞). 因为==log34·log32<=<=1,所以b<a. 所以c=logab<logaa=1<b,所以a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(2025·福建厦门模拟)由于燃油的价格有升也有降,现有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油,则下列说法正确的是(　　) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升,第一种方案的均价:=≥;第二种方案的均价:=≤ .所以无论油价如何变化,第二种都更划算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知正实数x,y满足2x+3y-xy=0,若3x+2y≥t恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.(-∞,25] B.(-∞,25) C.(-∞,24] D.[24,+∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由正实数x,y满足 2x+3y-xy=0, 得+=1, 则3x+2y=(3x+2y) =+9+4+≥13+2=25, 当且仅当=,即x=y=5时,等号成立,则t≤25. 故实数t的取值范围是(-∞,25]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(2025·广东佛山模拟)如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为(　　) A. B.1 C.2 D.6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设斜边c=2,直角边为a,b,则a2+b2=8, 因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2), 即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立, 此时a+b取最大值,则三角形周长取最大值. 此时面积为×2×2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.设f(x)=ln x,0<a<b.若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系中正确的是(　　) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:∵0<a<b,∴<.∵f(x)=ln x在(0,+∞)上是增函数,∴f()<f. 又=ln <ln, ∴<f,∴p=r<q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的是(　　) A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) D. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设矩形的边长分别为x,y,则x+y=l,S=xy.对于A,(1,4),则x+y=2,xy=1,根据基本不等式满足xy≤,符合题意;对于B,(6,8),则x+y=4,xy=6,根据基本不等式不满足xy≤,不符合题意;对于C,(7,12),则x+y=6,xy=7,根据基本不等式满足xy≤,符合题意;对于D,,则x+y=,xy=3,根据基本不等式不满足xy≤,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.设等差数列{an}的公差为d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值 是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为an=a1+(n-1)d=n,Sn=, 所以==≥·=,当且仅当n=,即n=4 时取等号,所以 的最小值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(2025·安徽淮北模拟)已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　　.  (-∞,9) 解析:因为x>0,y>0, 所以+=(x+y)=5++≥5+4=9, 当且仅当y=2x,即x=,y=时取等号, 所以实数m的取值范围为(-∞,9). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0,+∞),其中a>b,则的最小值为　　　　　.  解析:函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0,+∞), 令ax2+2x+b=0, 则有即ab=1,且a>0, 所以==(a-b)+. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又a>b,所以a-b>0, 则(a-b)+≥2=2, 当且仅当a-b=,且ab=1, 即a=,b=时等号成立, 即的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.设函数f(x)=4x-a·2x+b,且f(0)=0,f(1)=2. (1)求a,b的值; 解:由题意得,f(0)=1-a+b=0,f(1)=4-2a+b=2, 解得a=1,b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若∃x∈(-∞,3],使得f(x)<m·2x-3成立,求实数m的取值范围. 解: 由(1)知f(x)=4x-2x, 所以f(x)<m·2x-3可化为m>2x+3·-1. 故原问题等价于∃x∈(-∞,3],使得m>2x+3·-1成立, 则当x∈(-∞,3]时,m>(2x+3·-1)min. 设h(x)=2x+3·-1,x∈(-∞,3], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令t=2x,则t∈(0,8], 设p(t)=t+-1,t∈(0,8], 则p(t)≥2-1,当且仅当t=时取等号, 所以当t=时,h(x)取得最小值2-1. 故实数m的取值范围是(2-1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(2025·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是(　　) A.15 B.14 C.13 D.12 D B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积V=×3×(ab++4ab)=63,∴ab=9, ∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4=12,当且仅当a=b=3时等号成立, 即上底面的周长最小值为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(多选)(2025·湖北襄阳质检)若x>0,y>0,且x+2y=1,则(　 　) A.xy≤ B.+≤ C.+≥10 D.x2+4y2≥ ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由x>0,y>0,1=x+2y≥2可得xy≤,当且仅当x=2y=时等号成立,故A正确;+==,∵x+2y=1,xy≤, ∴=≤=,当且仅当x=2y=时,等号成立,故B正确;+=·(x+2y)=5++≥5+2=9,当且仅当x=y=时等号成立,故C错误;∵x+2y=1,∴(x+2y)2=1,即x2+4xy+4y2=1, ∴x2+4y2=1-4yx≥1-4×=,当且仅当x=2y=时,等号成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.第十四届全国运动会在陕西省举办,某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:每套会徽及吉祥物售价为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套), 供货单价为50+=52(元), 总利润为5×(100-52)=240(万元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解: 设售价为x元,则销售量为(15-0.1x)万套,供货单价为元, 单套利润为x-50-=元. 因为15-0.1x>0,所以0<x<150, (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大?最大值是多少元? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以单套利润为 y=x-50-=-+100≤100-2=80, 当且仅当150-x=10,即x=140时取等号, 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时,单套的利润最大,最大值是80元. $$