第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.掌握等式性质.　 2.会比较两个数的大小.　 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0) 知识梳理 知识点一　不等关系 5 1.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么_________； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么_________； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. b＝a a＝c 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 6 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c； a＜b，b＜c⇒a＜c 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的符号 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 7 性质 性质内容 注意 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒_________ 同向，同正 可乘方性 a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒_________ 同正 可开方性 a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒ 同正 ac＞bd an＞bn 知识梳理 知识点二　等式性质、不等式性质 8 1.已知－1＜a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(　　) A.a2＞－a3＞－a　　　　 B.－a＞a2＞－a3 C.－a3＞－a＞a2 D.a2＞－a＞－a3 解析：∵－1＜a＜0，∴1＋a＞0，0＜－a＜1， ∴－a－a2＝－a(1＋a)＞0， a2－(－a3)＝a2(1＋a)＞0， ∴－a＞a2＞－a3. B 自我评价 9 2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若，则a＞b C.若a3＞b3，且ab＜0，则 D.若a2＞b2，且ab＞0，则 解析：A中，当c＝0时，ac2＜bc2不成立，故A错误；B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，∴，故C正确；D中，当a＜0，b＜0时，不成立，故D错误. C 自我评价 10 3.已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶 解)，糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为_____________.  解析：， ∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0， ∴＜0，∴. 自我评价 11 4.已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为__________.  解析：因为－2＜b＜－1，所以－4＜2b＜－2，又2＜a＜3，所以－2＜a＋2b＜1. (－2，1) 自我评价 12 不等式的两类常用性质 1.倒数性质. (1)a＞b，ab＞0⇒. (2)a＜b＜0⇒. 2.有关分数的性质(a＞b＞0，m＞0). (1)真分数的性质： (b－m＞0). (2)假分数的性质： (b－m＞0). 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(1)若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A.p＜q　　　　　　　　 B.p≤q C.p＞q D.p≥q [解析]　根据题意，得p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)·.因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q. B 考点一　比较数(式)的大小 15 (2)若a＝，b＝，则a与b的大小关系是_________.(用“＞”连接)  [解析]　法一(作商法)：因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝log89＞1，所以a＞b. 法二(作差法)：a－b＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b. a＞b 考点一　比较数(式)的大小 16 法三(构造法)：由题意，构造函数f (x)＝(x≥3). 因为f'(x)＝， 令f'(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时， f'(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＜0， 所以函数f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减. 又因为0＜2＜e＜3，所以f (x)在[3，＋∞)上单调递减，所以f (3)＞f (4)， 所以， 所以a＞b. 考点一　比较数(式)的大小 17 比较大小的常用方法 1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. 2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 3.构造函数，利用函数的单调性比较大小. 方法总结 18 1.若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则(　　) A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa 解析：∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1， 由c＜cb＜ca＜1，得0＜a＜b＜1. ∵aa－b＞1，∴ab＜aa. ∵，0＜＜1， ∴＜1，即aa＜ba. 综上可知，ab＜aa＜ba. C 跟踪训练 19 2.(多选)下列不等式中，正确的是( 　　) A.x2－2x＞－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2＞2(a－b－1) D.若a＞b＞0，则a2－b2＞ AD 跟踪训练 20 解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2＞0， ∴x2－2x＞－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－ ＝(a－b)＞0，故选项D正确. 跟踪训练 21 [例2]　(1)(多选)已知a＞b＞1，＝1，则(　　 ) A.2－a＞2－b B.a2b－ab2＞a－b C.a－b＞3 D.a2－b2＞6 [解析]　因为a＞b，所以2a＞2b，故2－a2－b，故A错误； a2b－ab2＝ab(a－b)＞a－b，故B正确； a－b＝()()＝＝2＋1＞3，故C正确； a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞3×2＝6，故D正确. BCD 考点二　不等式的基本性质 22 (2)(多选)对于实数a，b，c，下列命题正确的是(　　 ) A.若a＞b，则ac＜bc B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C.若c＞a＞b＞0，则 D.若a＞b，，则a＞0，b＜0 BCD 考点二　不等式的基本性质 23 [解析]　若c＞0，则由a＞b得ac＞bc，A错误；若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，a2＞ab＞b2，B正确；若c＞a＞b＞0，则c－b＞c－a＞0，∴＞0， ∴，C正确；若a＞b，且a，b同号，则有，因此由a＞b，得a＞0，b＜0，D正确. 考点二　不等式的基本性质 24 1.设a，b，c，d为实数，且c＜d，则“a＜b”是“a－c＜b－d”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析：由a＜b不能推出a－c＜b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1， 满足a＜b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c＜b－d时，又c＜d，可得a－c＋c＜b－d＋d，即a＜b，故必要性成立. 所以“a＜b”是“a－c＜b－d”的必要不充分条件. 跟踪训练 25 2.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是(　　) A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0 C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D.若a＞b，c＞d＞0，则 解析：若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜0＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c.又a＞b，所以a－d＞b－c，故C正确；取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，，故D错误. BC 跟踪训练 26 [例3]　(1)(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A.a＋b的取值范围为[4，7] B.b－a的取值范围为[2，3] C.ab的取值范围为[3，10] D.的取值范围为 AC 考点三　不等式性质的应用 27 [解析]　因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4，7]，b－a的取值范围为[1，4]，故A正确， B错误； 因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以3≤ab≤10，≤≤≤≤， 所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C正确，D错误. 考点三　不等式性质的应用 28 (2)已知－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是____________.  [解析]　设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则 2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y， ∴解得 ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y). 由－1＜x＋y＜4得－2＜－(x＋y)＜， 由2＜x－y＜3得5＜(x－y)＜， ∴3＜2x－3y＜8. (3，8) 考点三　不等式性质的应用 29 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围. 方法总结 30 1.已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：原式分子和分母同时除以x， 得， 由条件得2＜－2y＜6，， 所以＜－，即＜－＜3， 所以＜1－＜4，所以. B 跟踪训练 31 2.已知－2＜x－y＜0，1＜2x＋y＜3，则8x＋y的取值范围为_________.  解析：设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)， 则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y). 又－4＜2(x－y)＜0，3＜3(2x＋y)＜9， ∴－1＜8x＋y＜9. (－1，9) 跟踪训练 32 课时作业　巩固提升 33 1.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1 000 km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间 层、暖层和散逸层.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下 述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A.|x－30|＜20　　　　　 B.|x＋30|＜20 C.|x＋10|＜50 D.|x－10|＜50 解析：平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域， 若x能表示平流层高度，则10＜x＜50， 所以－20＜x－30＜20，即|x－30|＜20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 34 2.设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则(　　) A.a＋b＞c B.ab＞c2 C.＞c D. 解析：当a＝b＝－1，c＝－2时，a＋b＝c，ab＜c2，＞c，，故A，B，D不正确，C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 35 3.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n 解析：由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 36 4.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小 的排列顺序是(　　) A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b 解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以2a＞2c，即a＞c，因此b＜d.因为a＋c＜b，所以a＜b.综上可得d＞b＞a＞c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 37 5.若c＞b＞a＞0，则(　　) A.abbc＞acbb B.2ln b＜ln a＋ln c C.a－＞b－ D.logac＞logbc 解析：由于＝ab－cbc－b＝＞1，所以abbc＞acbb成立，故A正确； 2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln(ac)，b2与ac大小不能确定，故B错误； 由于a－＝(a－b)＜0，故C错误； 令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 38 6.已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1＋y1＝x2＋y2＝x3＋y3；③x1y1＋x3y3＝2x2y2＞0，以下哪个选 项恒成立?(　　) A.2x2＜x1＋x3 B.2x2＞x1＋x3 C.＜x1x3 D.＞x1x3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 39 解析：设x1＋y1＝x2＋y2＝x3＋y3＝2m， 则 根据题意，应该有 且m2－a2＋m2－c2＝2(m2－b2)＞0， 则有 则x1＋x3－2x2＝(m－a)＋(m－c)－2(m－b)＝2b－(a＋c). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 40 因为(2b)2－(a＋c)2＝2(a2＋c2)－(a＋c)2＞0， 所以x1＋x3－2x2＝2b－(a＋c)＞0， 所以A正确，B错误； x1x3－＝(m－a)(m－c)－(m－b)2＝(2b－a－c)m＋ac－b2＝(2b－a－c)m－，而上面已证2b－a－c＞0， 因为不知道m的正负， 所以该式子的正负无法恒定，所以C，D无法判断. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 41 7.(多选)已知a＞b＞c＞0，则(　　) A. B.ac＞b2 C.a(c2－1)＞b(c2－1) D. 解析：因为a＞b＞c＞0，所以ab＋bc＜ab＋ac，即b(a＋c)＜a(b＋c)，则，A正确；当a＝6，b＝4，c＝1时，满足a＞b＞c＞0，此时ac＝6＜16＝b2，B错误；当0＜c＜1 时，c2－1＜0，此时a(c2－1)＜b(c2－1)，C错误；因为c＞0，a＞b＞0，所以a＋c＞b＋c＞0，则，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 AD A组　基础保分练 42 8.(多选)已知实数x，y满足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，则(　 　) A.－1＜x＜2 B.－2＜y＜1 C.－3＜x＋y＜3 D.－1＜x－y＜3 解析：因为－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－2＜4x－2y＜8， 则－5＜5x＜10，即－1＜x＜2，故A正确； 又－4＜－2x－4y＜6，－1＜2x－y＜4， 所以－5＜－5y＜10，即－2＜y＜1，故B正确； x＋y＝∈(－2，2)，故C错误； x－y＝∈(－1，3)，故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ABD A组　基础保分练 43 9.已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是_______________.  解析：因为a＞0，－1＜b＜0， 所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a， 故ab＜ab2＜a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ab＜ab2＜a A组　基础保分练 44 10.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y 的取值范围是__________.  解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3知， －3＜－y＜－2，故－4＜x－y＜2. 又－3＜3x＜12，4＜2y＜6， ∴1＜3x＋2y＜18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (－4，2) (1，18) A组　基础保分练 45 11.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：a＝[(a＋b)＋(a－b)]， 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， ∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[－2，3]. A组　基础保分练 46 (2)求3a－2b的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， 则解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b). ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4， ∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10， ∴－4≤3a－2b≤11， 即3a－2b的取值范围为[－4，11]. A组　基础保分练 47 12.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1(不含0，1)内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手 机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A.“屏占比”不变　　　　 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 解析：根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b＞a，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中m(m＞0)为升级后增加的面积，由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C B组　能力提升练 48 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b＞ab；②. 请写出一组a，b的值___________________________.  解析：容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)·ab＜0， 即a＋b与ab异号，显然应使a＋b＞0，ab＜0. 当a＜0，b＞0时，要使a＋b＞0，则|a|＜|b|，可取a＝－1，b＝2； 当a＞0，b＜0时，要使a＋b＞0，则|a|＞|b|，可取a＝2，b＝－1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. a＝－1，b＝2(答案不唯一) B组　能力提升练 49 14.据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元.利用所学的数学知识，比较2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格. 解：设1枝玫瑰花和1枝康乃馨的价格分别为x元，y元，由题意可得令2x－3y＝m(6x＋3y)＋n(4x＋5y)＝(6m＋4n)x＋(3m＋5n)y，则解得所以2x－3y＝(6x＋3y)－(4x＋5y)＞×24－×22＝0，因此2x＞3y，所以2枝玫瑰花的价格高. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 50 $$