第1章 第1节 集合-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第一节　集合 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.　 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 元素与集合的含义 一般地，我们把研究_________统称为元素，把一些元素组成的_________叫做集合(简称为集) 集合中元素的特征 _________性、_________性、_________性 集合的表示方法 _________法、_________法和_________法 特定集合的记法 正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R 元素与集合之间的关系 “属于”或“不属于”，记为“_________”或 “_________” 对象 总体 确定 互异 无序 列举 描述 图示 ∈ ∉ 知识梳理 知识点一　集合的含义与表示 5 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 x∈A⇒ x∈B _________ 或_________ A⊆B B⊇A 知识梳理 知识点二　集合间的基本关系 6 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 真子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊆B， 且∃x∈ B，x∉A _________ 或_________ 集合 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A⊆B， 且B⊆A _________ A⫋B B⫌A A＝B 知识梳理 知识点二　集合间的基本关系 7 运算 交集 并集 补集 Venn图 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 知识梳理 知识点三　集合的基本运算 8 1.(多选)已知集合P＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则(　　) A.2∈P　　　　　　　　 B.P＝{－2，2} C.{⌀}⊆P D.P⫋N 解析：P＝{x|x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A，B正确；⌀不是P 中的元素，故C错误；因为－2∉N，故D错误. AB 自我评价 9 2.设集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(∁RA)∩B等于(　　) A.{x|2＜x≤3} B.{x|7＜x＜10} C.{x|2＜x＜3，或7≤x＜10} D.{x|2＜x≤3，或7＜x＜10} 解析：因为∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|2＜x＜10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}. C 自我评价 10 3.(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B ＝(　　) A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{－1，0，1，4} 解析：A∩B＝{0，1}. C 自我评价 11 4.已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝__________.  解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.综上，实数a＝2. 2 自我评价 12 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集. 2.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 4.容斥原理：n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)(n(A)表示A中元素个数). 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A.已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为3 B.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中有3个元素 C.已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝ {1，2，3} D.已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B＝(0，0)，(3，9) AC 考点一　集合的含义与表示 15 [解析]　因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A， 则m＝2或m2－3m＋2＝2， 解得m∈{0，2，3}. 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0，3，2}，符合题意. 综上所述，m＝3.故A正确； 考点一　集合的含义与表示 16 因为A＝{0，1，2}，a∈A，b∈A， 所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0，1，2，4}， 即集合B中含有4个元素. 故B错误； 因为A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1，2，3}.故C正确； 考点一　集合的含义与表示 17 由题意得 解得或 故A∩B＝{(0，0)，(3，9)}.故D错误. 考点一　集合的含义与表示 18 解决集合含义问题的关键点 1.一是确定构成集合的元素. 2.确定元素的限制条件. 3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 方法总结 19 1.(2025·江苏泰州模拟)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x， y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　) A.5个　　　　　　　　　 B.6个 C.10个 D.15个 D 跟踪训练 20 解析：因为x∈A，y∈A，x－y∈A， 所以分以下5种情况： ①x－y＝1，有4个，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3)； ②x－y＝2，有3个，(2，0)，(3，1)，(4，2)； ③x－y＝3，有2个，(4，1)，(3，0)； ④x－y＝4，有1个，(4，0)； ⑤x－y＝0，有5个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4). 综上，B中所含元素的个数为15个. 跟踪训练 21 2.(2025·山东济南模拟)已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素为 2，则实数x＝__________.  解析：因为x2＋1－x＝＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1， 显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意. 1 跟踪训练 22 [例2]　(1)已知集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|1－log2x＜0}，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B＝⌀ D.A∪B＝R [解析]　因为集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|1－log2x＜0}＝{x|x＞2}， 所以A⊆B. A 考点二　集合间的基本关系 23 (2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}.若B⊆A，则实数 a的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.∪(0，1) A 考点二　集合间的基本关系 24 [解析]　∵B⊆A， ∴①若B＝⌀，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意. ②若B≠⌀，即ax＋1≤0有解， 当a＞0时，可得x≤－，要使B⊆A， 则需要解得0＜a＜1； 当a＜0时，可得x≥－，要使B⊆A， 则需要解得－≤a＜0. 综上，实数a的取值范围是. 考点二　集合间的基本关系 25 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 方法总结 26 1.已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合 M，N的关系是(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM 解析：因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⫋M. B 跟踪训练 27 2.设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，当x∈Z时， 集合A的非空真子集的个数为__________，当B⊆A时，实数m的取值范 围是____________________________.  解析：易得A＝{x|－2≤x≤5}. 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝⌀，B⊆A； ②当m＞－2时，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}≠⌀， 因此，要使B⊆A，则需解得－1≤m≤2. 综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m≤2}. 254 {m|m≤－2，或－1≤m≤2} 跟踪训练 28 角度1　集合的基本运算 [例3]　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝ {x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} [解析]　因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}. D 考点三　集合的基本运算 29 (2)(多选)(2025·山东潍坊模拟)若非空集合M，N，P满足M∩N＝N， M∪P＝P，则(　　) A.P⊆M B.M∩P＝M C.N∪P＝P D.M∩(∁PN)＝⌀ [解析]　由M∩N＝N，可得N⊆M， 由M∪P＝P，可得M⊆P， 则推不出P⊆M，故A错误； 由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确； 因为N⊆M且M⊆P， 所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确； 由N⊆M，可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误. BC 考点三　集合的基本运算 30 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(1)(2025·广东广州质检)已知集合A＝{x|x－a＜0}，B＝{x||x－b| ＝x－b}.若A∩B＝[1，2)，则a－b＝(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 [解析]　易得A＝{x|x＜a}；又由|x－b|＝x－b，得x－b≥0，从而B＝{x|x≥b}. 若a≤b，则A∩B＝⌀，不合题意，故a＞b，A∩B＝[b，a). 又因为A∩B＝[1，2)，所以a＝2，b＝1，从而a－b＝1，故正确答案为C. C 考点三　集合的基本运算 31 (2)(2025·山东临沂期末)已知集合A＝{λ，2，－1}，B＝{y|y＝x2， x∈A}，若A∪B的所有元素之和为12，则实数λ＝__________.  [解析]　若λ＝1，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；若λ＝－2，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；若λ≠1且λ≠－2，则B＝{1，4，λ2}，故λ2＋λ＋6＝12，解得λ＝－3(λ＝2舍去). －3 考点三　集合的基本运算 32 利用集合的运算求参数的方法 1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 方法总结 33 1.若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{x|x≥2}，则(∁RA)∪B＝(　　) A. B.⌀ C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 解析：因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以∁RA＝.又B＝{x|x≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞). C 跟踪训练 34 2.图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.∁U(A∪C)∩B B.(A∪B)∪(B∪C) C.(A∪C)∩(∁UB) D.∁U(A∩C)∪B 解析：由Venn图可知阴影部分所表示的集合为集合A，C的并集与集合B在全集U中补集的交集，即为(A∪C)∩(∁UB). C 跟踪训练 35 3.已知集合A，B满足A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜a－1}.若A∩B＝⌀，则实数 a的取值范围为(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) 解析：因为集合A，B满足A＝{x|x＞1}， B＝{x|x＜a－1}，且A∩B＝⌀， 则a－1≤1，解得a≤2. B 跟踪训练 36 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 教材延展 集合的新定义 37 [例]　设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈A，都有a＋b，a－b，ab，∈A(除数b≠0)，则称A是一个数域，则下列集合为数域 的是(　　) A.N B.Z C.Q D.{x|x≠0，x∈R} [解析]　1，2∈N，∉N，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任意a，b∈Q，都有a＋b，a－b，ab，∈Q(除数b≠0)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合A＝{x|x≠0，x∈R}，1∈A，取a＝1，b＝1，则a－b＝1－1＝0∉A，故{x|x≠0，x∈R}不是数域，D选项错误. C 教材延展 集合的新定义 38 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定 义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 方法总结 39 (多选)所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与 N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割，试判断下列选项中，可能成立的 是(　　) A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M没有最大元素，N也没有最小元素 BD 跟踪训练 40 解析：对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，所以A错误；对于B，若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则a＜b，则M＝{x∈Q|x≤a}，N＝{x∈Q|x≥b}，而(a，b)内也有有理数，则M∪N≠Q，故C错误；对于D，若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确. 跟踪训练 41 课时作业　巩固提升 42 1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A.2∈M　　　　　　　　　 B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析：由题意知M＝{2，4，5}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 43 2.集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为(　　) A.2个 B.4个 C.8个 D.16个 解析：A＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}，故子集个数为22＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 44 3.设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}，则实数m＝ (　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 解析：∵A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1，0，2}， ∴－1∈B，∴m＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 45 4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x －6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 解析：由x2－x－6≥0，得x≥3或x≤－2， ∴N＝{x|x≥3，或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 46 5.(2025·江苏南京模拟)设集合M＝，N＝ ，则(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M＝N D.M∩N＝⌀ 解析：法一(特殊值验证法)： 因为0∈M，0∉N，所以A，C不正确；因为∈M，∈N，所以D不正确. 法二(观察法)： 集合M＝，N＝(k∈Z)的分子表示所有整数，(k∈Z)的分子表示所有奇数，显然奇数是整数的一部分，所以N⫋M. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 47 6.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B， 则下列集合中表示空集的是(　　) A.(∁UA)∩B B.A∩B C.(∁UA)∩(∁UB) D.A∩(∁UB) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解析：由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A， (∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝⌀. D A组　基础保分练 48 7.(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝ {x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ 解析：∵M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}， ∴M∪N＝{x|x＝3k＋1，或x＝3k＋2，k∈Z}. 又U为整数集， ∴∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 49 8.(多选)已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则(　　) A.M∪N＝N B.M∩N＝N C.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M＝⌀ 解析：因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝⌀，C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AD A组　基础保分练 50 9.(多选)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0， 1，2}，则下列结论正确的是(　　 ) A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x|x≥0} C.(∁UA)∩B＝{－1} D.A∩B的真子集个数是7 解析：A＝，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝，所以(∁UA)∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B 的真子集个数是23－1＝7.故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ACD A组　基础保分练 51 10.已知集合A＝{x|x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的 值为__________.  解析：∵集合A＝{x|x2＋2ax＋2a≤0}，A中只有一个元素，∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2， ∴实数a的值为0或2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 0或2 A组　基础保分练 52 11.设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}.已知A∩B＝{9}，则a＝__________，A∪B＝_________________________.  解析：因为A∩B＝{9}，所以9∈A， 所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5. 当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，B中元素不满足集合元素的互异性，舍去. 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－4，－7，－8，4，9}. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去. 综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 －3 {－7，－4，－8，4，9} A组　基础保分练 53 12.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A， 则实数m的取值范围是__________.  解析：因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝⌀⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠⌀， 由B⊆A可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 综上所述，m≤4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－∞，4] A组　基础保分练 54 13.(多选)(2025·山东潍坊模拟)设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}， 若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕ 可能是(　　) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AC B组　能力提升练 55 解析：由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足题意，A正确； x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，当n1＝n2 时，x1－x2∉A，所以减法不满足题意，B错误； x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足题意，C正确； ，当＝λ(λ∈N*) 时，∉A，所以除法不满足题意，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 56 14.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的 是(　　) A.最多人数是55 B.最少人数是55 C.最少人数是75 D.最多人数是80 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B B组　能力提升练 57 解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B. 又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y. 根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100， ∴y＝55＋x.∵0≤x≤20， ∴55≤y≤75，故最少人数是55. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 58 15.设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m≥0}，B＝ {(x，y)|x＋y－n＞0}.若点P(2，3)∈A∩(∁UB)，则m＋n的最小值为 __________.  解析：A＝{(x，y)|2x－y＋m≥0}，∁UB＝{(x，y)|x＋y－n≤0}， 由于P(2，3)∈A∩(∁UB)， 所以解得 所以m＋n≥4，即m＋n的最小值为4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 4 B组　能力提升练 59 $$