第1章 第5节 一元二次方程、不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第五节　一元二次方程、不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.　2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象       ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　　  　　　　  R {x|x<x1,或x>x2} 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1.>0(<0)⇔　 ;  2.≥0(≤0)⇔　 .  |x|>a(a>0)的解集为　　　　　　　　　　,|x|<a(a>0)的解集为　　　　.  f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (-∞,-a)∪(a,+∞)　 (-a,a) 知识点二　分式不等式与整式不等式 知识点三　简单的绝对值不等式 1.(人A必修第一册P57T4改编)不等式(x-1)2<x+5的解集为(　　) A.{x|1<x<4}　　　　　　 B.{x|-1<x<4} C.{x|-4<x<1} D.{x|-1<x<3} 解析:原不等式可化为x2-3x-4<0,即(x+1)(x-4)<0,故其解集为{x|-1<x<4}. B 自我评价 2.不等式<0的解集为(　　) A.⌀ B.(2,3) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:<0等价于(x-3)(x-2)<0,解得 2<x<3. B 3.(人A必修第一册P55T5改编)已知A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则A∪B=　　　　　.  解析:已知A={x|x2-16<0}={x|-4<x<4},B={x|x2-4x+3>0}={x|x<1,或x>3},则A∪B=R. R 4.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),则a+b=　　　　　.  -1 解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的解为x=2或x=3, 由根与系数的关系,得解得 所以a+b=5-6=-1. 两个恒成立的充要条件 1.一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　如图所示,数轴上表示的区间与下列不等式的解集相同的是(　　)   A.x2-x-6≤0　　　　　 B.x2-x-6≥0 C.≥0 D.≥0 C 考点一　不含参数的不等式的解法 [解析]　由题图可得数轴上表示的区间为(-∞,-2)∪[3,+∞),由x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3;由x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3;由≥0,解得x<-2或x≥3;由≥0,解得x≤-2或x>3.所以数轴上表示的区间与不等式≥0的解集相同. 方法总结 解一元二次不等式的步骤 跟踪训练 1.(2025·广东广州质检)已知函数f(x)=x2,g(x)=若g(x)满足g(x)≤2-x,则x的取值范围为　　　　　.  解析:由已知得g(x)=当x≥0时,x2≤2-x,解得-2≤x≤1,因此0≤x≤1;当x<0时,-x2≤2-x,不等式恒成立,因此x<0.综上,x的取值范围为x≤1. x≤1 2.不等式>2的解集为　　　 　　.  解析:因为>2, 则-2=>0, 等价于(1-2x)(x+2)>0,解得-2<x<, 即不等式>2的解集为. [例2]　已知二次函数f(x)=x2-ax-2a2,a∈R. (1)若f(1)<0,求实数a的取值范围; [解]　由已知得f(1)=1-a-2a2<0, 即(a+1)(2a-1)>0, 解得a<-1或a>. 所以实数a的取值范围为(-∞,-1)∪. 考点二　含参数的不等式的解法 (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集. [解]　f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0, 令f(x)=0,得x1=2a,x2=-a, 当2a<-a,即a<0时,解得x<2a或x>-a; 当2a=-a,即a=0时,解得x≠0; 当2a>-a,即a>0时,解得x<-a或x>2a. 综上所述,当a<0时, 解集为(-∞,2a)∪(-a,+∞); 当a=0时,解集为(-∞,0)∪(0,+∞); 当a>0时,解集为(-∞,-a)∪(2a,+∞). 方法总结 解含参数的一元二次型不等式的步骤 跟踪训练 解关于x的不等式x2+ax+1<0(a∈R). 解:Δ=a2-4. ①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解. ②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根为x1=,x2=, 则原不等式的解集为 . 综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解; 当a>2或a<-2时,原不等式的解集为. [例3]　(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项中正确的是(　　 ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ ABD 考点三　三个二次的关系 [解析]　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,A选项正确; 已知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得 则b=-a,c=-6a,则a+b+c=-6a<0,C选项错误; 不等式bx+c>0即为-ax-6a>0,解得x<-6,B选项正确; 不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,D选项正确. 方法总结 已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 跟踪训练 1.(多选)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则下列说法正确的是(　 　) A.a<0 B.a+b=-5 C.不等式ax2+x-b>0的解集是 D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1,+∞) ABC 解析:由题意得,a<0,且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=-1,x2=, 则解得 a+b=-3-2=-5,故A,B正确; ax2+x-b>0,即-3x2+x-(-2)>0, 即(3x+2)(x-1)<0,解得-<x<1, 故不等式ax2+x-b>0的解集为,故C正确,D不正确. 2.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15, 则a的值为　　　　　.  解析:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的两个实数根, 所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2. 又因为x2-x1=15, 所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2. 又a>0,解得a=. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.不等式4x2+4x+1≤0的解集为(　　) A.⌀　　　　　　　　　　 B.R C. D. 解析:因为4x2+4x+1=(2x+1)2, 所以4x2+4x+1≤0 的解集为. D A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.不等式≤0的解集是(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由不等式≤0,得(1-2x)(x+4)≤0 且x+4≠0,即(2x-1)(x+4)≥0 且x≠-4,解得x<-4或x≥,所以不等式≤0 的解集是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是(　　) A.{x|2<x<3} B.{x|x≤2或x≥3} C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:∵不等式ax2-bx-1>0的解集是,∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<0, ∴ 解得 则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 解析:当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R; 当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2. 综上,-1<a≤2,故a的取值范围为{a|-1<a≤2}. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件可定为(　　) A.11元 B.16元 C.12元到16元之间 D.13元到15元之间 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设销售价定为每件x元,利润为y元, 则y=(x-8)[100-10(x-10)], 由题意可得:(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即x2-28x+192<0,所以(x-12)(x-16)<0, 解得12<x<16, 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数解,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,0]∪[2,3) B.[-2,-1)∪(3,4] C.(-2,-1)∪(3,4) D.[-1,0)∪(2,3] B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:不等式x2-(a+1)x+a<0可化为 (x-1)(x-a)<0, 当a=1时,不等式无解; 当a<1时,不等式的解为a<x<1,若解集中恰有2个整数解,则-2≤a<-1; 当a>1时,不等式的解为1<x<a,若解集中恰有2个整数解,则3<a≤4. 综上,a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是( 　　) A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+3x+10≤0 D.-x2+4x->0(a>0) BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:对于A,-x2+x+1≤0对应函数y=-x2+x+1的图象开口向下,显然解集不为⌀; 对于B,2x2-3x+4<0对应函数图象开口向上,Δ=9-32<0,其解集为⌀; 对于C,x2+3x+10≤0对应函数图象开口向上,Δ=9-40<0,其解集为⌀; 对于D,-x2+4x->0(a>0)对应函数图象开口向下, Δ=16-4≤16-4×2=0,当且仅当a=2时,取等号,其解集为⌀. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)设[x]表示不大于实数x的最大整数,则满足关于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为(　　) A. B.3 C.-4.5 D.-5 解析:因为不等式[x]2+[x]-12≤0, 所以([x]-3)([x]+4)≤0, 所以-4≤[x]≤3.又因为[x]表示不大于实数x的最大整数, 所以不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为,3. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为　　　　　.  解析:依题意知,c=-3×2=-6,-b=-3+4=1,即b=-1, 因此不等式x2+bx+c<0,即x2-x-6<0, 解得-2<x<3, 所以原不等式的解集为(-2,3). (-2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是　　　 　.  解析:由题意得即a=2b<0,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1). (-2,-1)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,则k=　　　　,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　　　　.  100　 [60,100] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由题意,当x=120时, =11.5, 解得k=100. 由≤9, 得x2-145x+4 500≤0, 解得45≤x≤100. 又∵60≤x≤120, ∴60≤x≤100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.设函数f(x)=ax2-(1+a)x+1. (1)若a=-2,解不等式f(x)>0; 解:当a=-2时,由f(x)=-2x2+x+1>0, 即(2x+1)(x-1)<0, 解得-<x<1, 故当a=-2时,不等式f(x)>0的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a>0,解关于x的不等式f(x)<0. 解: 由f(x)<0,可得(ax-1)(x-1)<0, 所以(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=. 当0<a<1时,>1,解得1<x<; 当a=1时,原不等式即为(x-1)2<0,该不等式的解集为⌀; 当a>1时,<1,解得<x<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为⌀; 当a>1时,原不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ A B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R, 即对于∀x∈R,ax2-|x|+2a≥0恒成立, 即a≥, 当x=0时,a≥0, 当x≠0时,a≥=, 因为≤=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当|x|=,即|x|=,即x=±时,等号成立, 所以a≥, 综上所述,a∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.一般地,把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式x2-kx+2k<0有实数解,且解集区间长度不超过3个单位长度,则实数k的取值范围为　　　 　　.  [-1,0)∪(8,9] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:不等式x2-kx+2k<0有实数解等价于x2-kx+2k=0有两个不相等的实数根, 则Δ=(-k)2-8k>0,解得k>8或k<0. 设x2-kx+2k=0的两根为x1,x2, 令x1<x2,则x1+x2=k,x1x2=2k. 由题意得x2-x1==≤3, 解得-1≤k≤9,又k>8或k<0, 所以-1≤k<0或8<k≤9, 所以实数k的取值范围为[-1,0)∪(8,9]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知关于x的不等式-x2+ax+b>0. (1) 若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值; 解:根据题意得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若b=a+1,求此不等式的解集. 解: 当b=a+1 时,-x2+ax+b>0⇔x2-ax-(a+1)<0,即[x-(a+1)](x+1)<0.当a+1=-1,即a=-2 时,原不等式的解集为⌀;当a+1<-1,即a<-2 时,原不等式的解集为(a+1,-1);当a+1>-1,即a>-2 时,原不等式的解集为(-1,a+1).综上,当a<-2 时,原不等式的解集为(a+1,-1);当a=-2 时,原不等式的解集为⌀;当a>-2 时,原不等式的解集为(-1,a+1). $$