第1章 第4节 基本不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第四节　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　2.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 1.基本不等式成立的条件:　　　　.  2.等号成立的条件:当且仅当　　　　　时,等号成立.  3.其中　　　　叫做正数a,b的算术平均数,　　　　叫做正数a,b的几何平均数.  a>0,b>0 a=b 知识梳理 知识点一　基本不等式: ≤(𝑎+𝑏)/2 1.已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值　　　　.  2.已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值　　　　.  注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 S2 知识点二　利用基本不等式求最值 1.设a>0,则9a+的最小值为(　　) A.4　　　　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 解析:因为a>0,所以9a+≥2=6,当且仅当9a=,即a=时等号成立,所以9a+的最小值为6. C 自我评价 2.(人A必修第一册P48T1改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时等号成立,即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3. C 3.(人A必修第一册P48T1改编)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为(　　) A. B. C. D.1 解析:因为0<x<1,所以1-x>0, 所以x(1-x)≤=, 当且仅当x=1-x,即x=时等号成立, 故x(1-x)的最大值为. A 4.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为　　　　　.  解析:由x+y=1得+=(x+y)=2++≥2+2=4, 当且仅当x=y=时等号成立,即+的最小值为4. 4 几个重要的不等式 1.+≥2(a,b同号). 2.ab≤(a,b∈R). 3.≥ (a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(1)若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> C 考点一　基本不等式的理解及常见变形 [解析]　∵0<a<b,∴2b>a+b, ∴b>>. ∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a. 故b>>>a. (2)对于下列判断,正确的是　　　.  ①不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的. ②y=x+的最小值是2. ③若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4. ④函数y=cos x+,x∈的最小值为4. ③ [解析]　①错误,前者成立的条件是a,b∈R,后者成立的条件是a≥0,b≥0.②错误,x可以是负数.④错误,由于cos x=时,cos x=2无解,故cos x+的最小值不为4. 方法总结 基本不等式的常见变形 1.ab≤≤. 2.≤　≤≤ (a>0,b>0). 跟踪训练 (多选)下列不等式中,不正确的是(　 　) A.a+≥4　　　　　　　 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:a<0时,a+≥4不成立,故A错误;a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B错误;a=4,b=16时,则<,故C错误;由基本不等式可知D项正确. ABC 角度1　配凑法求最值 [例2]　(1) 函数f(x)=的最小值为　　　　　.  [解析]　函数f(x)= 的定义域为(1,+∞), f(x)==+≥2=4,当且仅当=,即x=5 时取等号,故当x=5 时,f(x)取得最小值,且最小值为4. 4 考点二　利用基本不等式求最值 (2)当0<x<4时,则y=x(8-2x)的最大值为　　　　　.  [解析]　∵y=x(8-2x)=[2x·(8-2x)]≤=8, 当且仅当2x=8-2x,即x=2时,等号成立, ∴y=x(8-2x)的最大值为8. 8 方法总结 配凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值. 角度2　常数代换法求最值 [例3]　(1)(2025·江西南昌模拟)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为(　　) A.54 B.56 C.72 D.81 C [解析]　∵8a+4b=ab,a>0,b>0,∴+=1,∴8a+b= (8a+b)=×+40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时取等号. (2)已知非负实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A [解析]　因为非负实数a,b满足a+b=1, 所以(a+1)+(b+2)=4, 所以[(a+1)+(b+2)]=1, 所以+=[(a+1)+(b+2)]= ≥ =1. 当且仅当即时取等号. 综上,+的最小值为1. 方法总结 常数代换法求解最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2.把确定的定值(常数)变形为1. 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. 4.利用基本不等式求解最值. 角度3　利用消元法求最值 [例4]　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.  6 [解析]　法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy. 因为x>0,y>0,所以x+3y≥2, 所以3xy≤,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0, 解得t≥6,即x+3y的最小值为6. 法二(代入消元法):由x+3y+xy=9, 得x=, 所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时等号成立,所以x+3y的最小值为6. 方法总结 当所求最值的代数式中的变量有多个时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值. 角度4　构造不等式法求最值 [例5]　若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为(　　) A.9 B.6 C.3 D.12 A [解析]　因为a>0,b>0,所以a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立. 又ab=a+b+3,所以ab=a+b+3≥2+3,整理可得ab-2-3≥0, 解得≥3或≤-1(舍去). 所以≥3,所以ab≥9.所以当a=b=3时,等号成立,所以ab的最小值为9. 方法总结 若已知“和与积”的等式关系,求“和与积”的最值,可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值. 跟踪训练 1.已知x<0,则-x的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2+1 D.2-1 D 解析:因为x<0,则1-x>1,-x=+(1-x)-1≥2-1=2-1, 当且仅当=1-x,即x=1-时取等号, 所以-x的最小值为2-1. 2.若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. C 解析:法一:a>0,b>0,3=2ab+a+2b≤+(a+2b),当且仅当a=2b 时取等号,因此(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2, 所以当a=2b=1 时,a+2b取得最小值2. 法二:因为2ab+a+2b=3,所以a=, 所以a+2b=-1++2b=+(2b+1)-2≥2-2=2,当且仅当=2b+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2. 法三:因为2ab+a+2b=3,所以(2b+1)(a+1)=4,所以a+2b=(2b+1)+(a+1)-2≥2-2=2,当且仅当2b+1=a+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2. 柯西不等式 1.二维形式 对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 2.一般形式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(+++…+)· (+++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,…,n)时,等号成立. 教材延展 [例]　(1)若++…+=1,++…+=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 [解析]　(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(++…+)·(++…+)=4, ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2. C (2)若a2+b2=1,x2+y2=2,则ax+by的最大值为　　　　　.  [解析]　∵(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=2,∴ax+by≤. 跟踪训练 1.已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值为　　　　　.  解析:由柯西不等式(2x2+3y2)·≥=(x+y)2=1,∴2x2+3y2≥,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立,∴2x2+3y2的最小值为. 2.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则p=2x+y的最大值为　　　　　.  解析:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11,于是2x+y≤ . 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.若x<0,则关于x+下列结论正确的是(　　) A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2 解析:因为x<0,所以-x>0,-x+≥2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2. D A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知正数x,y满足+=2,则x+y的最小值为(　　) A.2　　　　　　　　　 B.4 C.2+ D.2+ 解析:因为正数x,y满足+=2, 所以x+y=(x+y)=≥=2+,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以x+y的最小值为2+. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知x>0,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:p=x++y+=3++≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是(　　) A.x=y B.x=2y C.x=2且y=1 D.x=y或y=1 解析:∵x>0,y>0,∴x+2y≥2, 当且仅当x=2y时取等号. 故“x=2且y=1”是“x+2y=2”的一个充分不必要条件. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.当x>1时,函数f(x)=的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 A 解析:因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时取等号,故f(x)= 的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A.x- B.2x+ C.x2+ D.+ BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:选项A中,当x<0时,函数y=x-单调递增,无最小值,不符合题意; 选项B中,2x+≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,满足题意; 选项C中,x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,满足题意; 选项D中, +≥2=2,当且仅当=时,等号成立,但此方程无实数解,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)若x≥y,则下列不等式中正确的是(　　) A.2x≥2y B.≥ C.x2≥y2 D.x2+y2≥2xy AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由指数函数的单调性可知,当x≥y时,有2x≥2y,故A正确; 当0>x≥y时,≥ 不成立,故B错误; 当x=-1, y=-2时,x2≥y2不成立,故C错误; x2+y2-2xy=(x-y)2≥0恒成立,即x2+y2≥2xy成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)若x>0,y>0,且2x+y=xy,则(　 　) A.+>1 B.x+2y+xy≥9+6 C.xy≤8 D.+≥2 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:已知x>0,y>0,∵2x+y=xy, ∴+=1. ∴+>+=1,故A正确; x+2y+xy=3x+3y=(3x+3y)=9++≥9+6, 当且仅当x=y,即x=+1,y=2+时等号成立,故B正确; 2x+y=xy≥2,解得xy≥8, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当y=2x,即x=2,y=4时等号成立,故C错误; 由2x+y=xy,得(x-1)(y-2)=2, 由题意知,x-1>0,y-2>0, 则+≥2=2, 当且仅当=,即x=2,y=4时等号成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知a>0,b>0且ab=a+b+3,则a+b的最小值为　　　　　.  解析:由ab=a+b+3得(a-1)(b-1)=4,由(a-1)b=a+3 得a>1,同理b>1,所以a+b=(a-1)+(b-1)+2≥2+2=6,当且仅当a-1=b-1,即a=3,b=3时取等号,a+b取得最小值6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知函数f(x)=3x+(a>0)的最小值为5,则a=　　　　.  解析:f(x)=3x+=3x+1+-1≥2-1=5,当且仅当3x+1=时等号成立,∴a=9,经检验,当且仅当3x=2时等号成立. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知a,b是正数,且4a+3b=6,则a(a+3b)的最大值是　　　　　　.  3 解析:∵a>0,b>0,4a+3b=6, ∴a(a+3b)=·3a(a+3b)≤=×=3,当且仅当3a=a+3b,即a=1,b=时,a(a+3b)的最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.若a>0,b>0,且a+2b-4=0. (1)求ab的最大值; 解:∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4, ∴ab=a·2b≤·=2, 当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立, ∴ab的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求+的最小值. 解: ∵+=·= ≥·=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.(多选)(2025·湖北黄冈模拟)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.0<≤ B.+≥1 C.log2a+log2b<2 D.≤ BD B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为a>0,b>0,所以ab≤≤,当且仅当a=b=2时等号成立, 则ab≤=4或≤,当且仅当a=b=2时等号成立, 则≥,a2+b2≥8,≤, 当且仅当a=b=2时等号成立, 则log2a+log2b=log2(ab)≤log24=2, 当且仅当a=b=2时等号成立,故A,C不恒成立,D恒成立; 对于B选项,+==≥4×=1, 当且仅当a=b=2时等号成立,故B恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知a>0,b>0,,a+2b=1,则+的最小值为　　　　　.  解析:因为a>0,b>0,a+2b=1,所以(a+2)+(2b+2)=5, 所以+=+ =[(a+2)+(2b+2)]× = ≥=, 当且仅当a=,b=时等号成立.故+ 的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.写出一个关于a与b的等式,使+是一个变量,且它的最小值为16,则该等式为　　　 　　.  解析:该等式可为a2+b2=1,证明如下:+=(a2+b2)= 1+9++≥10+2=16,当且仅当b2=3a2时取等号,所以+是一个变量,且它的最小值为16. a2+b2=1(答案不唯一) $$