第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.理解不等式的性质,并能简单应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 知识梳理 知识点一　不等关系 1.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么　　　　;  性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么　　　　;  性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=. b=a　 a=c 知识点二　等式性质、不等式性质 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a;a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒a>c; a<b,b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔　　　　  可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒　　　  c的符号 a+c>b+c　 ac<bc 性质 性质内容 注意 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒　　　  同向, 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒　　　  同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 ac>bd an>bn 1.(人A必修第一册P38例1改编)设A=m(m+2),B=(m+1)2,则下列不等式一定成立的是(　　) A.A≥B　　　　　　　　 B.A>B C.A≤B D.A<B 解析:因为A-B=m(m+2)-(m+1)2=(m2+2m)-(m2+2m+1)=-1<0,所以A<B. D 自我评价 2.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(　　) A.若a<b,则ac2<bc2 B.若>,则a>b C.若a3>b3,且ab<0,则> D.若a2>b2,且ab>0,则< C 解析:A中,当c=0时,ac2<bc2不成立,故A错误;B中,当c<0时,a<b,故B错误;C中,若a3>b3,ab<0,则a>0>b,∴>,故C正确;D中,当a<0,b<0时,<不成立,故D错误. 3.(人A必修第一册P43T3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　　　.  解析:M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N. M>N 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为　　　　　.  (-2,1) 解析:因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,又2<a<3,所以-2<a+2b<1. 不等式的两类常用性质 1.倒数性质. (1)a>b,ab>0⇒<; (2)a<b<0⇒>. 常用结论 2.有关分数的性质(a>b>0,m>0). (1)真分数的性质: <,>(b-m>0); (2)假分数的性质: >,<(b-m>0). 关键能力　重点探究 [例1]　(1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(　　) A.p<q　　　　　　　　 B.p≤q C.p>q D.p≥q B 考点一　比较数(式)的大小 [解析]　根据题意,得p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·= =.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时p<q.综上所述,p≤q. (2)若a=,b=,则a与b的大小关系是　　　　　.(用“> ”连接)  a>b [解析]　法一(作商法):因为a=>0,b=>0, 所以=×===log89>1,所以a>b. 法二(作差法):a-b=-=(2ln 3-3ln 2)=(ln 9-ln 8)>0,即a>b. 法三(构造法):由题意,构造函数f(x)=(x≥3). 因为f'(x)=, 令f'(x)=0,得x=e,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 又因为0<2<e<3, 所以f(x)在[3,+∞)上单调递减, 所以f(3)>f(4), 所以>=, 所以a>b. 方法总结 比较大小的常用方法 1.作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. 2.作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论. 3.构造函数,利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练 1.(2024·湖北武汉模拟)已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 解析:因为M-N=(a2-ab)-(ab-b2)=(a-b)2,又a≠b,所以(a-b)2>0,即M>N. A 2.若正实数a,b,c满足c<cb<ca<1,则(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa C 解析:∵c是正实数,且c<1,∴0<c<1, 由c<cb<ca<1,得0<a<b<1. ∵=>1, ∴ab<aa. ∵=,0<<1, ∴<1,即aa<ba. 综上可知,ab<aa<ba. [例2]　(1)若实数a,b满足a<b<0,则(　　) A.a+b>0 B.a-b<0 C.|a|<|b| D.> B 考点二　不等式的基本性质 [解析]　由a<b<0,可得a+b<0,故A错误; 由a<b<0,可得a-b<0,故B正确; 由a<b<0,可得-a>-b>0,所以|a|>|b|,故C错误; 由a<b<0,可得|a|>|b|>0, 所以<,故D错误. (2)(多选)已知a,b,c为实数,则下列说法正确的是( 　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a+c>b+c C.若a>b>c>0,则> D.若a>b>c>0,则> BCD [解析]　当c=0时,ac2=bc2,故A错误; 由不等式的可加性可知,B正确; 若a>b>c>0,则a-b>0,b+c>0, ∴-==>0, ∴>,故C正确; 若a>b>c>0,则a-b>0,a-c>0,b-c>0,且a-c>a-b, ∴>>0. 又b>c>0, 由可乘性知,>,故D正确. 跟踪训练 1.设x>0,y>0,则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 2.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则->0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则> BC 解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<0<bd,故A错误;若ab>0,bc-ad>0,则>0, 化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c.又a>b,所以a-d>b-c,故C正确; 取a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误. [例3]　(1)已知0<x<5,-1<y<1,则x-2y的取值范围是(　　) A.2<x-2y<3 B.-2<x-2y<3 C.2<x-2y<7 D.-2<x-2y<7 [解析]　因为-1<y<1,所以-2<-2y<2. 又0<x<5,所以-2<x-2y<7. D 考点三　不等式性质的应用 (2)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是　　　　.  (3,8) [解析]　设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),则 2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y, ∴解得 ∴2x-3y=-(x+y)+(x-y). 由-1<x+y<4得-2<-(x+y)<, 由2<x-y<3得5<(x-y)<, ∴3<2x-3y<8. 方法总结 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围. 跟踪训练 1.(2025·湖北武汉模拟)已知实数a∈(1,3),b∈,则的取值范围是　　　　.  解析:由1<a<3,<b<, ∴4<<8,故4<<24. (4,24) 2.已知-2<x-y<0,1<2x+y<3,则8x+y的取值范围为　　　　　.  (-1,9) 解析:设8x+y=m(x-y)+n(2x+y), 则解得 ∴8x+y=2(x-y)+3(2x+y). 又-4<2(x-y)<0,3<3(2x+y)<9, ∴-1<8x+y<9. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.地球表面被很厚的大气层包围,大气层的厚度大约在1 000 km以上,整个大气层高度不同表现出不同的特点,分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下述不等式中,x能表示平流层高度的是(　　) A.|x-30|<20　　　　　 B.|x+30|<20 C.|x+10|<50 D.|x-10|<50 A A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域, 若x能表示平流层高度,则10<x<50, 所以-20<x-30<20,即|x-30|<20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知a>b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 解析:取a=1,b=-2,满足a>b,显然有>,a2<b2,|a|<|b|成立,即选项A,C,D都不正确; 指数函数y=2x为增函数,若a>b,则必有2a>2b,B正确. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知a>0,b>0,设m=a-2+2,n=2-b,则(　　) A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n A 解析:由题意可知,m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0, 当且仅当a=b=1时,等号成立, 即m≥n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d.已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是(　　) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b A 解析:因为a+b=c+d,a+d>b+c,所以2a>2c,即a>c,因此b<d.因为a+c<b,所以a<b.综上可得d>b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若c>b>a>0,则(　　) A.abbc>acbb B.2ln b<ln a+ln c C.a->b- D.logac>logbc A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:由于=ab-cbc-b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确; 2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln(ac),b2与ac大小不能确定,故B错误; 由于a--=(a-b)<0,故C错误; 令c=1,则logac=logbc=0,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.若-π<α<β<π ,则α-β 的取值范围是(　　) A.(-2π,2π) B.(0,2π) C.(-2π,0) D.{0} C 解析:因为-π<β<π ,所以-π<-β<π. 又-π<α<π ,所以-2π<α-β<2π. 又α<β ,所以α-β<0,所以-2π<α-β<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)下列结论中不正确的是(　 　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若<,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若>1,则a<b BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:ac2>bc2,不等式两边除以c2(c≠0),则a>b,故A不符合题意; 取a=-1,b=1,满足<, 但是a<b,故B符合题意; 取a=1,b=0,c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但是ac=bd,故C符合题意; 取a=2,b=1,满足>1, 但是a>b,故D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则(　 　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8, 则-5<5x<10,即-1<x<2,故A正确; 又-4<-2x-4y<6,-1<2x-y<4, 所以-5<-5y<10,即-2<y<1,故B正确; x+y=∈(-2,2),故C错误; x-y=∈(-1,3),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知a>0,-1<b<0,则a,ab,ab2由小到大依次排列是　　　　　.  解析:因为a>0,-1<b<0, 所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a, 故ab<ab2<a. ab<ab2<a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是　　　　　,3x+2y的取值范围是　　　　　.  解析:由-1<x<4,2<y<3知, -3<-y<-2,故-4<x-y<2. 又-3<3x<12,4<2y<6, ∴1<3x+2y<18. (-4,2) (1,18) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4. (1)求实数a的取值范围; 解:a=[(a+b)+(a-b)], 由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,得-4≤(a+b)+(a-b)≤6, ∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3,即-2≤a≤3, 故实数a的取值范围为[-2,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求3a-2b的取值范围. 解: 设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b, 则解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴3a-2b=(a+b)+(a-b). ∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4, ∴-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10, ∴-4≤3a-2b≤11, 即3a-2b的取值范围为[-4,11]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在0~1(不含0,1)内,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A.“屏占比”不变　　　　　　B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 C B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:根据题意,不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a,整机面积为b,b>a,则升级前的“屏占比”为,升级后的“屏占比”为,其中m(m>0)为升级后增加的面积,由分数性质知>,所以升级后“屏占比”变大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a2>b2>c2,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　 　　　.  -3,-1,0(答案不唯一) 解析:令a=-3,b=-1,c=0,则a2>b2>c2, 此时a+b=-4<0,所以a+b>c是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解:∵y=f(x)=ax2+bx,∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b. 法一(待定系数法): 设f(-2)=mf(-1)+nf(1), 又f(-2)=4a-2b, 所以4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 可得解得 所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二(运用方程思想): 由 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10, 即f(-2)的取值范围是[5,10]. $$