第1章 第2节 常用逻辑用语-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第二节　常用逻辑用语 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.　2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 　记p:x∈A,q:x∈B,则 p是q的充分条件 p⇒q 　　　  p是q的必要条件 q⇒p 　　　  p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p 　　　  p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p 　　　  p是q的必要不充分条件 P q且q⇒p 　　　  p是q的既不充分也不必要条件 P q且q p 　　　　　  　　　　　  A⊆B　 A⊇B　 A=B　 A⫋B　 A⫌B A不包含于B 且A不包含B 知识梳理 知识点一　充分条件、必要条件与充要条件 1.全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任给、全部、每一个等 　　　  存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些、有的等 　　　  ∀ ∃ 知识点二　全称量词与存在量词 2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 对M中任意一个x,p(x)成立 ∀x∈M, 　　　  ∃x∈M, 　　　  存在量 词命题 存在M中的元素x,p(x)成立 ∃x∈M, 　　　  ∀x∈M, 　　　  p(x)　 􀱑p(x)　 p(x)　 􀱑 p(x) 1.(人A必修第一册P31T3改编)命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是(　　) A.∀a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 B.∃a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 D.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1≠0没有实根 C 自我评价 解析:根据全称量词命题的否定形式可知,命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根”. 2.使-2<x<2成立的一个充分条件是(　　) A.x<2 B.0<x<2 C.-2≤x≤2 D.x>0 解析:由0<x<2⇒-2<x<2 知选B. B 3.(多选)(人A必修第一册P30例4改编)下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析:C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意. ABD 4.(多选)下列说法中正确的是(　　 ) A.当p是q的充分条件时,q是p的必要条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.“x>1”是“x>0”的充分不必要条件 D.命题“∃x∈R,sin2+cos2=”是真命题 ABC   1.p是q的充分不必要条件,等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 2.命题p和􀱑p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可先判断此命题的否定的真假. 常用结论 关键能力　重点探究 角度1　定义法判断充分、必要条件 [例1]　(1) 已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 [解析]　由a2=b2,得|a|=|b|; 由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b. a=b⇒|a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b, ∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C [解析]　充分性证明　甲:数列{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,=a1+d=n+a1-,所以-=, 因此为等差数列,则甲是乙的充分条件; 必要性证明　乙:为等差数列,设其公差为D,首项为S1,所以=S1+(n-1)D, 即Sn=nS1+n(n-1)D,当n≥2时,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 所以当n≥2时,两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,即an=a1+2(n-1)D,n=1时,上式成立, 于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D,为常数,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,故选C. 角度2　集合法判断充分、必要条件 [例2]　设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　　) A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [解析]　由x2-5x<0可得0<x<5.由|x-1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集,故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件. 方法总结 1.充分、必要条件的判断方法. 利用定 义判断 直接判断“若p,则q”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么 从集合的 角度判断 利用集合中包含关系判定,即可解决充分、必要性的问题 2.不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p ⇒q”⇔“若p,则q”为真命题. 跟踪训练 (2024·北京卷)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析:由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. [例3]　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件;②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并求解下列问题. 问题:已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|(x+1)(x-3)<0}. 若　　　　　,求实数a的取值范围.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 [解]　由(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3, 所以B={x|-1<x<3}. 选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,所以解得-1<a<1,即a∈(-1,1); 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件,则A⊆B,所以 解得-1<a<1,即a∈(-1,1). 方法总结 已知充分、必要条件或充要条件 求参数取值范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍 跟踪训练 已知p:x≥a,q:|x+2a|<3,且p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) A 解析:因为q:|x+2a|<3,所以q:-2a-3<x<-2a+3,记A={x|-2a-3<x<-2a+3};p:x≥a,记B={x|x≥a}.因为p 是q 的必要不充分条件,所以A⫋B,所以a≤-2a-3,解得a≤-1. [例4]　(1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A.∀x∈R,|x|>0　　　　　 B.∃x∈R,|x|>0 C.∀x∈R,|x|≤0 D.∃x∈R,|x|≤0 [解析]　命题“有些实数的绝对值是正数”可以写为“∃x∈R,|x|>0”,它的否定是“∀x∈R,|x|≤0”,故选C. C 考点三　全称量词命题与存在量词命题 (2)(多选)下列命题中的真命题是(　 　) A.∀x∈R,>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x∈R,lg x<1 D.∃x∈R,tan x=2 ACD [解析]　指数函数的值域为(0,+∞), ∴∀x∈R,>0,故A正确; 当x=1时,(x-1)2=0,∴∀x∈N*,(x-1)2>0是假命题,故B错误; 当x=1时,lg x=0<1,∴∃x∈R,lg x<1,故C正确; 函数y=tan x的值域为R,∴∃x∈R,tan x=2,故D正确. (3)已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1} D [解析]　∵p为假命题,∴􀱑p为真命题,即∀x>0,x+a-1≠0,即∀x>0,x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1, ∴实数a的取值范围是{a|a≥1}. 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其命题的否定的真假. 2.对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,一是改变量词符号,二是对结论进行否定,即“改变量词,否定结论”. 3.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 方法总结 跟踪训练 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 B 解析:对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, 对于q而言,取x=1,则有x3=x,故q是真命题, p是假命题,􀱑p是真命题,q是真命题,􀱑q是假命题, 综上,􀱑p和q都是真命题. 2.若命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为 　 　　　　.  解析:命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,等价于“方程x2+x-a=0无实根”, 则Δ=1+4a<0,解得a<-, 即实数a的取值范围为. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.命题“∃x>0,sin x-x≤0”的否定为(　　) A.∀x≤0,sin x-x>0 B.∃x>0,sin x-x≤0 C.∀x>0,sin x-x>0 D.∃x≤0,sin x-x>0 C A组　基础保分练 解析:由题意知命题“∃x>0,sin x-x≤0”为存在量词命题, 其否定为全称量词命题,即∀x>0,sin x-x>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.下列说法正确的是(　　) A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题 B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件 C.命题“∃x∈R,使得x2+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+1<0” D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则实数m的取值范围是[1,3] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:x=是无理数,x2=2是有理数,A错误; 当x=-2,y=-1时,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件,B错误; 命题“∃x∈R,使得x2+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤0”,C错误; “1<x<3”的必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则两个不等式的等号不同时取到,解得1≤m≤3,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.-4<a<0 B.-4≤a<0 C.-4<a≤0 D.-4≤a≤0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,即命题 p:∀x∈R,ax2+2ax-4<0为真命题, 当a=0时,-4<0恒成立,符合题意; 当a≠0时,则a<0且Δ=(2a)2+16a<0,即-4<a<0. 综上可知,-4<a≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2025·天津期末)“a<1”是“∃x∈R,x2-x+a<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:因为∃x∈R,x2-x+a<0, 所以Δ=(-1)2-4a>0,解得a<, 所以(-∞,1)⫌, 故 “a<1”是“∃x∈R,x2-x+a<0”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2025·陕西咸阳模拟)下列命题中,真命题是(　　) A.“a>1,b>1”是“ab>1”的必要条件 B.∀x>0,ex>2x C.∀x>0,2x≥x2 D.a+b=0的充要条件是=-1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:对于A,当a=2,b=1时,满足ab>1,但不满足a>1,b>1,故“a>1,b>1”不是“ab>1”的必要条件,故错误; 对于B,根据指数函数的性质可得,对于∀x>0,>1,即ex>2x,故正确; 对于C,当x=3时,2x<x2,故错误; 对于D,当a=b=0时,满足a+b=0,但=-1不成立,故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)-<5x-3<12的一个必要条件是(　　) A.-<x<2 B.-<x<4 C.-3<x< D.-1<x<6 解析:解-<5x-3<12,得-<x<3,当x满足-<x<3时,满足-<x<4和-1<x<6. BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.“a-b=0”的充要条件是“=1” B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件 C.命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是“∀x∉R,x2-2x≥0” D.“a>2,b>2”是“ab>4”的充分条件 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.∃a∈R,使函数y=2x+a·在R上为偶函数 B.∀x∈R,函数y=sin x+cos x+的值恒为正数 C.∃x∈R,x2-2x+1≤0 D.∀x∈(0,+∞),>x AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:当a=1时,y=2x+为偶函数,故A为真命题;y=sin x+cos x+= sin+,当sin=-1时,y=0,故B为假命题; x2-2x+1=(x-1)2,当x=1时,x2-2x+1=0,故C为真命题;当x=时,∈(0,1),lo=1,∴<,故D为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.在△ABC中,“A=B”是“sin A=sin B”的　　　　　(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.  解析:在△ABC中,A=B⇔a=b⇔sin A=sin B, 故“A=B”是“sin A=sin B”的充要条件. 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明: 　　　 　　.  解析:因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题,则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题,所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明存在一个素数不是奇数. 存在一个素数不是奇数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知“x2-x-2>0”是“2x+p>0”的必要条件,则实数p的取值范围是　　　　.  解析:由2x+p>0,得x>-, 令A=. 由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1,令B={x|x>2,或x<-1}, 由题意知A⊆B,即-≥2, 解得p≤-4, ∴实数p的取值范围是(-∞,-4]. (-∞,-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.下列命题中的真命题是(　　) A.∃x∈R,使得sin x+cos x= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1 C.∃x∈(-∞,0),2x<3x D.∀x∈(0,π),sin x>cos x B B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:∵sin x+cos x=sin≤<,故A错误;设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1. ∵当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 又f(0)=0, ∴∀x∈(0,+∞),f(x)>0,即ex>x+1,故B正确; 当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈时, sin x<cos x,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 13.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为|a-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·b+9b2= 9a2+6a·b+b2.又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b;反之也成立. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)=,g(x)=asin x+2a(a>0),若对任意x1∈[0,2],总存在 x2∈[0,2]使g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:∵x∈[0,2], ∴f(x)==-4+∈[-1,5]. ∵x∈[0,2],a>0,∴g(x)∈[2a,3a], 由题意得[2a,3a]⊆[-1,5], ∴∴0<a≤. 解析:对于A,由=1⇒a-b=0,但a-b=0 =1,所以“=1”是“a-b=0”的充分不必要条件,故选项A为假命题;对于B,取a=2,b=-1,满足a>b,但>,所以a>b <;同理取a=-1,b=2,满足<,但a<b,所以< a>b,所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件,故选项B为真命题;对于C,命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是“∀x∈R,x2-2x≥0”,故选项C为假命题;对于D,因为a>2,b>2⇒ab>4,所以“a>2,b>2”是“ab>4”的充分条件,故选项D为真命题. $$