第1章 第1节 集合-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版基础）

第一节　集合 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.通过实例了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.　2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.　3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 知识点一　集合的含义与表示 元素与集 合的含义 一般地,我们把研究　　　　统称为元素,把一些元素组成的　　　　叫做集合(简称为集)  集合中元素的特征 　　　　性、　　　　性、　　　　性  集合的表示方法 　　　　法、　　　　法和　　　　法  特定集合 的记法 正整数集N*或N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R 元素与集合之间的 关系 “属于”或“不属于”,记为“　　”或“　　　”  对象　 总体　 确定　 互异　 无序 列举 描述　 图示 ∈　 ∉ 知识梳理 知识点一　集合的含义与表示 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 x∈A⇒ x∈B 　　  或　　    真子 集　 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⊆B, 且∃x∈ B,x∉A 　　  或　　    A⊆B　 B⊇A A⫋B B⫌A 知识点二　集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 集合 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 A⊆B, 且B⊆A 　　    A=B 运算 交集 并集 补集 Venn图       符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 知识点三　集合的基本运算 1.下列结论正确的是(　　) A.集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1} B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1} C.若1∈{x2,x},则x=-1或x=1 D.对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B) D 自我评价 2.(多选)已知集合A={x|x≤2,x∈R},a=,b=2,则(　　) A.a∈A　　　　　　　 B.a∉A C.b∈A D.b∉A 解析:由>=2,可得a∉A;由2<2,可得b∈A. BC 3. (2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=(　　) A.{0}　　　　　　　　 B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 解析:A∩B={0,1}. C 4.(人A必修第一册P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|0<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　　　.  [2,+∞) 解析:因为B⊆A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2. 1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,2n-1个真子集. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. 4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 5.容斥原理:n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)(n(A)表示A中元素个数). 常用结论 关键能力　重点探究 [例1]　(1)(2025·江苏南京模拟)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为　　　　　.  [解析]　B={(2,1),(4,2)},共2个. 2 考点一　集合的含义与表示 (2) 设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则a2 025+b2 026=　　　　　.  0 [解析]　由题意知a≠0,所以a+b=0,则=-1, 所以a=-1,b=1.故a2 025+b2 026=-1+1=0. 方法总结 确定集合的注意点 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 跟踪训练 1.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8}.即C中元素的个数为4. B 2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　　.  - 解析:由题意得m+2=3或2m2+m=3, 则m=1或m=-. 当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意; 当m=-时,m+2=,2m2+m=3,符合题意,故m=-. [例2]　(1)已知集合A={x|x>5},B={x|1-log2x<0},则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.A∪B=R [解析]　因为集合A={x|x>5},集合B={x|1-log2x<0}={x|x>2}, 所以A⊆B. A 考点二　集合间的基本关系 (2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}.若A⊆B,则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 [解析]　若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意; 若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意. 综上所述,a=1. B 方法总结 1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 跟踪训练 1.已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM 解析:因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1}, N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以N⫋M. B 2.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为　　　　,当B⊆A时,实数m的取值范围是　　　　 　.  254 {m|m≤-2或-1 ≤m≤2} 解析:易得A={x|-2≤x≤5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素, ∴A的非空真子集的个数为28-2=254. ①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=⌀,B⊆A; ②当m>-2时,B={x|m-1<x<2m+1}≠⌀, 因此,要使B⊆A,则需解得-1≤m≤2. 综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}. 角度1　集合的基本运算 [例3]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} A 考点三　集合的基本运算 [解析]　法一:因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<}, 而B={-3,-1,0,2,3},又1<<=2,所以-2<-<-1,所以A∩B={-1,0}. 法二:因为B={-3,-1,0,2,3},将每个元素代入不等式-5<x3<5, 只有-1,0,使得不等式成立. (2)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} [解析]　因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},∁A(A∩B)={2,3,5}. D 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(1)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 [解析]　A={x|-2≤x≤2},B=. 由A∩B={x|-2≤x≤1},知-=1,所以a=-2. B (2)(多选)已知集合A={x|x+1≤0},B={x|x≥a}.若A∪B=R,则实数a的值可以为(　　) A.2 B.-1 C.0 D.-2 [解析]　∵A={x|x≤-1},B={x|x≥a},且A∪B=R, ∴a≤-1,∴实数a的值可以为-1,-2. BD 方法总结 利用集合的运算求参数的方法 1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 注意:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 跟踪训练 1.若集合A={x|2x2-9x>0},B={x|x≥2},则(∁RA)∪B=(　　) A. B.⌀ C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析:因为A={x|2x2-9x>0}=,所以∁RA=.又B={x|x≥2},所以(∁RA)∪B=[0,+∞). C 2.图中阴影部分所表示的集合是(　　)   A.∁U(A∪C)∩B B.(A∪B)∪(B∪C) C.(A∪C)∩(∁UB) D.∁U(A∩C)∪B C 解析:由Venn图可知阴影部分所表示的集合为集合A,C的并集与集合B在全集U中补集的交集,即为(A∪C)∩(∁UB). 3.已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:因为集合A,B满足A={x|x>1}, B={x|x<a-1},且A∩B=⌀, 则a-1≤1,解得a≤2. B 集合的新定义 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,掌握好基础,以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解. 教材延展 [例]　(2025·云南保山模拟)定义集合运算:A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={1,2,3},则集合A+B的所有元素之和为(　　) A.14 B.15 C.16 D.18 [解析]　由题设知A+B={2,3,4,5}, ∴所有元素之和为2+3+4+5=14. A 方法总结 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆. 跟踪训练 (多选)所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=⌀,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为戴德金分割,试判断下列选项中,可能成立的是(　　) A.M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割 B.M没有最大元素,N有一个最小元素 C.M有一个最大元素,N有一个最小元素 D.M没有最大元素,N也没有最小元素 BD 解析:对于A,因为M={x|x<0},N={x|x>0},M∪N={x|x≠0}≠Q,所以A错误;对于B,若M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0},则满足戴德金分割,此时M没有最大元素,N有一个最小元素0,故B正确;对于C,若M有一个最大元素,设为a,N有一个最小元素,设为b,则a<b,则M={x∈Q|x≤a},N={x∈Q|x≥b},而(a,b)内也有有理数,则M∪N≠Q,故C错误;对于D,若M={x∈Q|x<},N={x∈Q|x≥},则满足戴德金分割,此时M没有最大元素,N也没有最小元素,故D正确. 课时作业　巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则(　　) A.2∈M　　　　　　　 B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析:由题意知M={2,4,5}. A 16 A组　基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.集合A={x∈N|1<x<4}的子集个数为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:A={x∈N|1<x<4}={2,3},故子集个数为22=4. B 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m=(　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 解析:∵A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2}, ∴-1∈B,∴m=-1. A 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　　　　 B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} C 解析:由x2-x-6≥0,得x≥3或x≤-2, ∴N={x|x≥3,或x≤-2},因此M∩N={-2}. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 .(2025·江苏南京模拟)设集合M=, N=,则(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M∩N=⌀ B 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:法一(特殊值验证法): 因为0∈M,0∉N,所以A,C不正确;因为∈M,∈N,所以D不正确. 法二(观察法): 集合M=,N=,(k∈Z)的分子表示所有整数,(k∈Z)的分子表示所有奇数,显然奇数是整数的一部分,所以N⫋M. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知全集U,若集合A和集合B都是U的非空子集,且满足A∪B=B,则下列集合中表示空集的是(　　) A.(∁UA)∩B B.A∩B C.(∁UA)∩(∁UB) D.A∩(∁UB) D 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由Venn图表示集合U,A,B如图,   由图可得(∁UA)∩B=∁BA,A∩B=A,(∁UA)∩(∁UB)=∁UB,A∩(∁UB)=⌀. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(多选)已知I为全集,集合M,N⊆I,若M⊆N,则(　　) A.M∪N=N B.M∩N=N C.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M=⌀ AD 解析:因为M⊆N,则M∪N=N,M∩N=M,A正确,B错误; 又I为全集,集合M,N⊆I,则∁IM⊇∁IN,(∁IN)∩M=⌀,C错误,D正确. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(多选)已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列结论正确的是(　 　) A.A∩B={0,1,2} B.A∪B={x|x≥0} C.(∁UA)∩B={-1} D.A∩B的真子集个数是7 ACD 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:A==,B={-1,0,1,2}, A∩B={0,1,2},故A正确;A∪B={x|x≥-1,x∈Z},故B错误;∁UA=,所以(∁UA)∩B={-1},故C正确;由A∩B={0,1,2},得A∩B 的真子集个数是23-1=7.故D正确. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)若集合A={x|sin 2x=1},B=,则下列结论正确的是(　　) A.A∪B=B B.∁R B⊆∁RA C.A∩B=⌀ D.∁RA⊆∁RB AB 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:A={x|sin 2x=1}== ,B==, 显然集合⊆, 所以A⊆B,则A∪B=B成立,所以A正确. ∁RB⊆∁RA成立,所以B正确,D错误. A∩B=A,所以C错误. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知集合A={x|x2+2ax+2a≤0},若A中只有一个元素,则实数a的值为　　　　　.  解析:∵集合A={x|x2+2ax+2a≤0},A中只有一个元素,∴Δ=4a2-8a=0,解得a=0或a=2,∴实数a的值为0或2. 0或2 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.设A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.已知A∩B={9},则a=　　　　　, A∪B=　　　　 　.  -3 {-7,-4,-8,4,9} 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:因为A∩B={9},所以9∈A, 所以a2=9或2a-1=9,解得a=±3或a=5. 当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中元素不满足集合元素的互异性,舍去. 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故A∪B={-4,-7,-8,4,9}. 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去. 综上所述,a=-3,A∪B={-7,-4,-8,4,9}. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-∞,4] 解析:因为A∪B=A,则B⊆A. 当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀⊆A,满足题意; 当m+1≤2m-1,即m≥2时,B≠⌀, 由B⊆A可得解得-3≤m≤4,此时2≤m≤4. 综上所述,m≤4. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 13.已知集合A={x||x-1|>2},B={x|x2+px+q≤0}.若A∪B=R,且A∩B=[-2,-1),则p,q的值分别为(　　) A.-1,-6 B.1,-6 C.3,2 D.-3,2 A 16 B组　能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:由|x-1|>2可得x-1>2或x-1<-2, 解得x>3或x<-1, 所以A=(-∞,-1)∪(3,+∞). 又因为A∪B=R,A∩B=[-2,-1), 所以B=[-2,3], 所以-2,3是方程x2+px+q=0的两个根, 由根与系数的关系可得 解得p=-1,q=-6. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% C 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:设只喜欢足球的百分比为x,只喜欢游泳的百分比为y,两个项目都喜欢的百分比为z,   由题意,可得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82,解得z=46, ∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为　　　　　.  解析:根据题意,A∩B的元素是x+y=8上满足x,y∈N*且y≥x的点,即点(1,7),(2,6),(3,5),(4,4). 4 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.定义P☉Q=,已知P={0,-2},Q={1,2}, 则P☉Q=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:x,y取不同值时z的值如下表所示. 所以P☉Q=. 　　y 　z　 x　　 1 2 0 10+=1 20+=1 -2 1-2+=-1 2-2+=- $$