1.1.1 空间向量及其线性运算 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.1.1空间向量及其线性运算 part1 知识清单 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． Part2 教材重点例题与习题 1.如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使求证：，，，四点共面． 【答案】证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形，所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，从而，，，四点共面．  2.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例． 【答案】解：三棱锥中，，，即表示三个不同在一个平面的向量． 教室的一角三条边，可以看做不同在一个平面内的向量．  3.如图，，分别是长方体的棱，的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： ；  ； ；  ． 【答案】解：；  ； ；  ．   4.在图中，用，，表示，及． 【答案】解：因为， 根据题设有， 故， ， 又， 故， ， 又， 故．  5.如图，已知四面体，，分别是，的中点．化简下列各表达式，并标出化简结果的向量： ；    ；    ． 【答案】解： 因为分别是的中点，所以， ； 因为分别是的中点，所以， ．   6.如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心．求下列各式中，的值： ； ； ． 【答案】解：由空间向量的加法法则得到， 而 ， 为上底面中心， ， ， 所以 为侧面的中心， ， ， ．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2.在长方体中，(    ) A. B. C. D. 3.如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则(    ) A. B. C. D. 4.在平行六面体中，向量，，是(    ) A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在平行六面体中，与向量相等的向量有(    ) A. B. C. D. 6.如图，在四棱锥中，，，点分别为的中点，若，，则下述正确的是(    ) A. B. 直线与异面 C. D. 三点共线 三、填空题 7.已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则          ． 8. 已知空间向量，，，化简          ． 9.已知平行六面体，则下列四式中正确的有          ． ；； ；． 10.在正方体中，给出以下向量表达式：；；；  其中能够化简为向量的是          填序号． 11.在平行六面体中，，，，则          ，          ． 12.三棱柱中，、分别是B、上的点，且，设，，试用表示向量          ． 13.设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则实数          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.如图，在长方体中，，，，则以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中：     单位向量有多少个？     模为的向量有多少个？     写出与向量相等的向量．     写出向量的相反向量． 15.如图所示，在正方体中，点在上，且，点在对角线上，且设，，， ，求，，的值． 求证：，，三点共线． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：对于，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误 对于，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误 对于，与的方向成，不是相同方向，因而不是相等向量，所以C错误 对于，与的方向相同，大小相等，属于相等向量，因而D正确． 综上可知，为正确选项 故选： 2.【答案】  【解答】 解：如图所示， 长方体中， ． 故答案选：． 3.【答案】  【解答】 解：在正方体中， 点，分别是面对角线与的中点，，，， 故选D． 4.【答案】  【解答】 解：因为， 所以，，共面． 故选C． 5.【答案】  【解答】 解：如图，在平行六面体中，与向量相等的向量有，，， 故选：． 6.【答案】  【解答】 解：对于选项A因为点为的中点，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为在平面中，点也在平面中， 而点不在平面中，所以直线与异面，故选项B正确； 对于选项C因为点分别为的中点，所以， 又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D因为，所以点既在平面内又在平面内， 所以点在平面与平面的交线上， 同理点也在平面与平面的交线上， 又因为点也在平面与平面的交线上， 所以点三点共线，故选项D正确． 故选BCD． 7.【答案】  【解答】 解：如图所示， ． 故答案为． 8.【答案】  【解答】解：根据空间向量的数乘运算法则可知， 原式 ． 故答案为． 9.【答案】  【解答】 解：，正确 ，正确 对于，显然正确 ，错 综上可知，正确的有． 故答案为． 10.【答案】  【解答】 解：中； 中； 中； 中， 所以正确． 故答案为． 11.【答案】  【解答】 解：， ． 故答案为：；． 12.【答案】  【解答】 解：由题意得  ， 又，，， 故答案为． 13.【答案】  【解答】 解：因为，， 所以 ， 因为，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 所以，解得， 故答案为． 14.【答案】解：由于长方体的高为， 长方体条高所对应的向量、、、、、、、共个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为，故单位向量共个； 由于这个长方体的长为，由的解法可得，模为的向量共个； 与向量相等的所有向量除它自身之外共有、及，共个； 向量的相反向量为、、、，共个．  15.【答案】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，，． 证明：，所以，所以， 由知，， 所以 ， 又 ， 所以， 又因为与有公共点， 所以，，三点共线． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$