课时作业19 函数的单调性（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十九)　函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　B．y＝xex C．y＝x3＋x D．y＝ln x－x 解析：选BC　对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于C，y′＝3x2＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x3＋x在(0，＋∞)上为增函数．对于A、D都存在x>0，使y′<0的情况． 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　 ) A.在区间(－3，－2)上f(x)是减函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．在区间(3，5)上f(x)是增函数 解析：选AC　由导函数f′(x)的图象知在区间(－3，－2)上，f′(x)＜0，在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4，5)上单调递增．故选A，C. 3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　 ) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 解析：选A　因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f(2)＜f(e)＜f(3). 故选A. 4．已知函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为(　　) A．[4，5] B．[2，4] C．(－∞，2] D．(－∞，4] 解析：选D　由题得f′(x)＝x2－mx＋4，要使函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，则f′(x)≥0在[1，2]上恒成立， 即x2－mx＋4≥0在[1，2]上恒成立， 即m≤＝x＋在[1，2]上恒成立， 又x＋≥2＝4， 当且仅当x＝2时，等号成立， 所以m≤4. 5．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x) ＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x. 令f′(x)＝x cos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为 ∪， 即f(x)的单调递增区间为 和. 答案：， 6．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为________． 解析：因为f′(x)＝cos x＋a≥0， 所以a≥－cos x， 又－1≤cos x≤1，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 7．求函数f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调区间． 解：f′(x)＝3x2－6x－3. 令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋； 令f′(x)<0，得1－<x<1＋. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)， 单调递减区间为(1－，1＋). 8．已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x，若f(x)为单调递减函数，求实数a的取值范围． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＋a－＝. 因为f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以f′(x)≤0对∀x∈(0，＋∞)恒成立， 所以－2x2＋ax－1≤0， 即a≤2x＋对∀x∈(0，＋∞)恒成立． 又因为2x＋≥2＝2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)， 所以a≤2. 故实数a的取值范围为(－∞，2]. [能力提升练] 9．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D　∵f(x)＝kx－ln x， ∴f′(x)＝k－. ∵f(x)在(1，＋∞)单调递增， ∴当x>1时， f′(x)＝k－≥0恒成立， 即k≥在(1，＋∞)上恒成立． ∵x>1，∴0<<1，∴k≥1，故选D. 10．设偶函数f(x)定义在∪上，其导函数为f′(x)，当0<x<时，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，则不等式f(x)>2fcos x的解集为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选C　令g(x)＝，因为f(x)是定义在∪上的偶函数，所以g(x)是定义在∪上的偶函数，又当0<x<时，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，所以g′(x)＝<0在上恒成立，即g(x)＝在上单调递减，在上单调递增，将f(x)>2fcos x化为>，即g(x)>g，则|x|<，又x∈∪，所以x∈∪. 11．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式x f(x)<0的解集是_______． 解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0， 且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示， 所以x f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). 答案：(－∞，－1)∪(0，1) 12．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 解析：由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝4x－＝. 由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为. 由于函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数， 所以k－1<<k＋1，解得－<k<. 又(k－1，k＋1)为定义域的一个子区间， 所以k－1≥0， 即k≥1.综上所述，实数k的取值范围为. 答案： 13．已知a∈R，函数f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x. (1)若曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值； (2)若函数f(x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围． 解：因为f′(x)＝3x2－12x＋12－3a， 所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率k＝f′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a. 而直线x－3y＝0的斜率为， 则3－3a＝－3，得a＝2. (2)由f(x)在(1，4)上单调递减， 得f′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立， 即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立， 所以a≥(x2－4x＋4)max＝4， 所以a的取值范围是[4，＋∞). [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－－1＋＝－. ①若a≤2，则f′(x)≤0， 当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a>2，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝. 当x∈∪时， f′(x)<0； 当x∈时， f(x)>0. 所以f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$