课时作业18 简单复合函数的求导法则（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十八)　简单复合函数的求导法则 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　 ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 2．若函数f(x)＝3cos ，则f′等于(　　 ) A．－3 B．3 C．－6 D．6 解析：选B　∵f′(x)＝－6sin ， ∴f′＝－6sin ＝6sin ＝3. 3．设f(x) ＝ln ，则f′(2)＝(　　) A. B． C． D． 解析：选B　f′(x)＝·＝， 故f′(2)＝. 4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：选B　设切点为(x0，y0)， 则y0＝x0＋1，y0＝ln (x0＋a). 又∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1， ∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2. 5．曲线y＝f(x)＝xex-1在点(1，1)处切线的斜率等于________． 解析：y′＝ex-1＋xex-1＝(x＋1)ex-1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2. 答案：2 6．已知f(x)＝sin ，则f′＋f′的值为________． 解析：因为f′(x)＝2cos ， 所以f′＝1，f′＝－2， 即f′＋f′＝－1. 答案：－1 7．求下列函数的导数． (1)y＝esin(ax＋b)； (2)y＝5log2 (2x＋1). 解：(1)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a ＝a cos (ax＋b)·esin (ax＋b). (2)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. 8．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解：∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1. ∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0. 由＝得m＝－1或3. ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. [能力提升练] 9．(多选)已知f(x)＝cos (－2x)，f′(x0)＝－1，则x0的值可以为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选BCD　f′(x)＝－2sin 2x，由－2sin 2x0＝－1， 即sin 2x0＝，∴2x0＝2kπ＋或2x0＝2kπ＋，k∈Z， ∴x0＝kπ＋或x0＝kπ＋，k∈Z， 故选B、C、D. 10．函数f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选C　f ′(x)＝－e－x＋a，由题意－e－x＋a＝2， ∴e－x＝a－2，∴a－2>0，∴a>2. 11．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，则a的值为__________；b的值为________． 解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点， 可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率． 由题意，得＋a＝，故a＝0. 答案：0　－1 12．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． 解析：求得(ln x＋2)′＝，[ln (x＋1)]′＝. 设曲线y＝ln x＋2上的切点为(x1，y1)， 曲线y＝ln (x＋1)上的切点为(x2，y2)， 则k＝＝，所以x2＋1＝x1. 又y1＝ln x1＋2，y2＝ln (x2＋1)＝ln x1， 所以k＝＝2， 所以x1＝＝，y1＝ln ＋2＝2－ln 2， 所以b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 答案： 1－ln 2 13．曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：∵f′(x)＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′ ＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x， ∴f′(0)＝2. ∴经过点(0，1)的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即y＝2x＋1. 设符合题意的直线方程为y＝2x＋b， 根据题意，得＝， ∴b＝6或－4. ∴符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. [素养拓展练] 14．求曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积． 解： 依题意得y′＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，y′|x＝0＝－2e-2×0＝－2. 所以曲线y＝e-2x＋1 在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2. 在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象， 因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$