2.2导数的几何意义导学案-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

导数的几何意义（第一课时） 【学习目标】 1．通过作函数图像上过点的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。 2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。 3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。 【温习旧知】 1.平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率= = ．用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 2.瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝ .如果当 Δx 时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． 3.导数的概念 如果平均变化率趋于一个 的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的 ．在数学中，称 为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . 4.点斜式直线方程： . 【预习新知】 1. 曲线的割线与切线 (1)设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图①，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条 ． (2)如图②，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；Δx趋于0时，点B将沿曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的 ，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处 ．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数 ． 2. 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ． 【例题精讲】 例1.求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率. 变式1：曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程. （合作交流） 练习1：如图，已知曲线上一点，求：(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. （类比探索） 例2．求抛物线过点的切线方程. （点不在该抛物线上） 练习2：求抛物线过点的切线方程. （类比探索） 【课后练习】 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　) 2．已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ） A．4 B． 16 C． 8 D． 2 3．函数在处的导数的几何意义是（ ） A．在点处的函数值 B．在点处的切线与轴所夹锐角的正切值 C．曲线在点处的切线的斜率 D．点与点（0，0）连线的斜率 4．已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 5．已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。 6.求曲线y＝在点处的切线方程． 7.已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $