课时作业14 导数的概念（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十四)　导数的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 解析：选C　由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数． 2．函数y＝x3在x＝1处的导数为(　　 ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：选C　＝ ＝ ＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2， 所以 ＝3x2，y′|x＝1＝3. 3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 解析：选B　＝ ＝18＋3Δt， 当Δt趋于0时，趋于18， ∴s′(3)＝18，故选B. 4．如果函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是(　　) A． B． C．1 D．3 解析：选A　＝ ＝＝， 当Δx趋于0时，趋于＝， ∴x0＝. 5．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________． 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，∴lim ＝2a，∴a＝f′(1)＝1. 答案：1 6．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________． 解析：Δy＝－ ＝－＝＝. ∴＝＝－， 即k＝＝－. ∴当Δx＝1时，k＝－＝－. 答案：－ 7．求函数y＝在x＝2处的导数． 解：∵Δy＝－＝－1 ＝－， ∴＝－. ∴f′(2)＝ ＝－ ＝－1. 8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义． 解： 当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为＝ ＝＝5＋Δx. 当x趋近于6， 即Δx趋近于0时，平均变化率趋近于5，∴f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h，原油温度将升高5 ℃. [能力提升练] 9．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝(　　 ) A． B．1 C．2 D． 解析：选A　因为f′(1)＝1， 所以 ＝1， 所以 ＝ ＝. 10．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为(　　 ) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选D　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π，故θ(t)＝2πt2. 第2 s时的瞬时速度即为θ′(2). 由于＝＝2πΔt＋8π， 所以θ′(2)＝lim ＝lim (2πΔt＋8π)＝8π， 即第2 s时的瞬时速度为8π. 11．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则实数a的值为________． 解析：∵＝ ＝ ＝aΔx＋2a＋2， ∴当Δx趋于0时，趋于2a＋2， 即f′(1)＝2a＋2， 依题意2a＋2＝4，∴a＝1. 答案：1 12．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1＋t) cm，设此时正方形的面积为S cm2，且S＝f(t)，求f′(0)并解释其实际意义．则 (1)f′(0)＝________． (2)解释f′(0)的实际意义________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________． 解析：(1)依题意可知 S＝f(t)＝[10(1＋t)]2＝100(1＋t)2. 设t＝0时温度的改变量为Δt，则 ＝ ＝ ＝200＋100Δt， ∴当Δt趋于0时，趋于200， 即f′(0)＝200. (2)f′(0)＝200的实际意义是，在铁板温度为0 ℃时，铁板面积增加的速度为200 cm2/℃，也就是说，保持这一增速每升高1 ℃，铁板面积就要增加200 cm2. 答案：(1)200　(2)略 13．在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作C＝f(Q)，称为总成本函数．为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在Q0处的导数f′(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示，即MC(Q0) ＝f′(Q0). 已知某产品的总成本函数为C＝Q2，求边际成本MC(300)，并说明其实际意义． 解：设Q＝300时产量的改变量为ΔQ，则 ＝＝600＋ΔQ， 令ΔQ趋于0，可得MC(300)＝600， 因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是：当产量为300时，成本增加的速度为600，也就是说保持这一增速，当产量为300时，每增加1件产品，成本就要增加600. [素养拓展练] 14．“人间烟火气，最扰凡人心。”这是人们对烟花的赞美，烟花制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况． 解：因为＝＝－9.8t－4.9Δt＋14.7， 所以当Δt趋于0时，趋于14.7－9.8t， 所以h′(2)＝－4.9， 即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降． 由h′(t)＝0得t＝1.5，所以在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$