课时作业13 平均变化率与瞬时变化率（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十三)　平均变化率与瞬时变化率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．一根金属棒的质量y(单位：kg)关于长度x(单位：m)的函数关系式为f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　) A． kg/m　　　　 　B． kg/m C． kg/m D． kg/m 解析：选B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝ (kg/m). 2．一物体做直线运动，其位移s (单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　　) A．－1 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．6 m/s 解析：选A　∵＝ ＝5－2t－Δt， ∴该物体在t＝3 s时的瞬时速度为lim ＝－1 m/s，故选A. 3．(多选)物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝lim ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　 ) A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度 C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度的极限值 答案：CD 4．已知函数f(x) ＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：选C　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2， ∴＝4＋2Δx. 5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为________． 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 答案：　 6．已知曲线y＝x2－1上两点A(3，2)，B(3＋Δx，2＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________． 解析：y＝f(x)＝x2－1，x0＝3，Δx＝1， ∴kAB＝＝ ＝＝7. 答案：7 7．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率； (3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5 ＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx. 当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率＝＝21. (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率＝＝19.2. (3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P1(5，60)所在直线的斜率； 在(2)中，＝＝，它表示曲线上两点P0 (4，39)与P2 (4.1，40.92)所在直线的斜率． 8．某赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2. (1)当t＝20，Δt＝0.1时，求Δs与的值； (2)求当t＝20时的瞬时速度． 解：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20) ＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202 ＝1＋20＋5×0.01＝21.05， 所以＝＝210.5. (2)易得＝ ＝5Δt＋210， 当Δt趋于0时，趋于210， 所以赛车在t＝20时的瞬时速度为210 m/s. [能力提升练] 9．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a的值为(　　 ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 解析：选C　根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3. 10．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1 (t)，W2 (t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 解析：选B　由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好，故选B. 11．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是________米/秒． 解析：∵s＝4t2＋4t＋1， Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1) ＝4(Δt)2＋12Δt， ＝＝4Δt＋12， 当Δt趋于0时，趋于常数12， 则物体在1秒末的瞬时速度为12米/秒． 答案：12 12．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________． 解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8 ＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， 所以lim ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1. 答案：1 13．求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？ 解：设函数y＝ x2在x＝1，2，3附近的平均变化率分别为k1，k2，k3，则 k1＝＝＝＝2＋Δx， k2＝＝＝＝4＋Δx， k3＝＝＝＝6＋Δx. 取Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，所以k1<k2<k3. 所以函数y＝x2在x＝3附近的平均变化率最大． [素养拓展练] 14．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？ 解：当自变量从0到Δx时，函数的平均变化率为 k1＝＝. 当自变量从到＋Δx时，函数的平均变化率为 k2＝＝. 由于k1，k2分别是在x＝0和x＝附近的平均变化率， 可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负． 当Δx>0时，k1>0，k2<0，此时有k1>k2； 当Δx<0时，k1－k2＝－ ＝ ＝ ∵Δx<0，∴Δx－<－， ∴sin <－. 从而有sin <－1， sin ＋1<0， ∴k1－k2>0，即k1>k2， 综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$