课时作业11 数列在日常经济生活中的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十一)　数列在日常经济生活中的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(　　) A． B．p%·q% C． D．－1 解析：选D　设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r， 则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2. 于是r＝－1. 2．某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将接近(　　) A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 解析：选C　设年增长率为x， 则2020年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝. 2030年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨). 3．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　) A．1 500 m B．1 600 m C．1 700 m D．1 800 m 解析：选C　由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，以－0.7 ℃为公差的等差数列，记此数列为{an}， a1＝26 ℃，d＝－0.7 ℃， ∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18， ∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m). 4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　) A．300米 B．290米 C．199米 D．166米 解析：选A　设每次着地所经过的路程构成的数列为{an}，则a1＝100，a2＝100，a3＝50，….从第2项起该数列为等比数列，公比为. S10＝100＋＝100＋200×≈300. 5．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内分别传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为________小时． 解析：由题意，n小时后得知信息的总人数为1＋2＋22＋…＋2n＝2n+1－1，令2n+1－1≥55，即2n+1≥56⇒n＋1≥6⇒n≥5. 答案：5 6．银行一年定期储蓄存款年息为r，到期后自动转存，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励存户存三年定期后自动转存，则q的取值范围为________． 解析：设存款数为a元，则三年后本利和分别为a(1＋r)3和a＋3aq，由题知a＋3aq>a(1＋r)3， 解得q>[(1＋r)3－1]. 答案：q>[(1＋r)3－1] 7．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元时的销售量增加10%(n∈N). (1)写出礼品价值为n(元)时，利润yn(元)关于n的函数关系式及这个函数的定义域； (2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润． 解：(1)设赠送礼品时，单位时间内的销售量为m个， 则yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝m(20－n)×1.1n，其中0≤n<20，n∈N. (2)要求出获得最大利润时的礼品价格，只需解关于n的不等式yn＋1－yn≥0， 即m(19－n)×1.1n+1－m(20－n)×1.1n≥0， 即(19－n)×1.1－(20－n)≥0，解得n≤9， 则y0<y1<y2<…<y9＝y10， 同理可得y10>y11>y12>…>y18>y19. 所以为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元． 8．某人年初向银行贷款10万元用于购房． (1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？ (2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？ 解：(1)若向建设银行贷款，设每年还款x元， 则105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x 即105×1.5＝10x＋45×0.05x元， 解得x＝≈12 245(元). ∴若向建设银行贷款，每年应付12 245元． (2)若向工商银行贷款，设每年需还y元，则 105×(1＋4%)10＝y(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋…＋y(1＋4%)＋y 即105×1.0410＝·y， 其中：1.0410≈1.4802， ∴y≈≈12 330(元) ∴若向工商银行贷款，每年应付12 330元． [能力提升练] 9．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间为(　　) A．14 s B．15 s C．13 s D．10 s 解析：选B　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an， 则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列． 由求和公式得na1＋＝240， 即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15(负值舍去). 10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2019年某地区农民人均收入为31 500元(其中工资性收入为18 000元，其他收入为13 500元)，预计该地区自2020年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1 600元，根据以上数据，2024年该地区农民人均收入介于(　　) (参考数据：1.066≈1.418 5，1.065≈1.338 2，1.064≈1.262 5) A．42 000元～44 000元之间 B．44 000元～46 000元之间 C．46 000元～48 000元之间 D．48 000元～50 000元之间 解析：选B　2024年农民收入为18 000·(1＋6%)5＋13 500＋5×1600≈18 000×1.3382＋21 500≈45 588，故选B. 11．已知甲、乙两车间的月产值在2020年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2020年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2020年4月份月产值的大小，则(　　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．大小不确定 解析：选A　设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2020年1月份同为m， 则由题意得m＋6a＝m·(1＋x)6，　① 4月份甲的产值为m＋3a， 4月份乙的产值为m·(1＋x)3， 由①知，(1＋x)6＝1＋， 即4月份乙的产值为 m ＝ . ∵(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0， ∴m＋3a> ， 即4月份甲的产值大于乙的产值． 12．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出______万元资金进行奖励． 解析：设第10名到第1名得到的资金数分别是a1，a2，…，a10，则 an＝Sn＋1，则a1＝2，an－an－1＝－＝(Sn－Sn－1)＝an，即an＝2an－1，因此每人得到的资金额组成以2为首项，2为公比的等比数列，所以S10＝＝2046. 答案：2046 13．某市2018年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2019年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2025年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48) 解：(1)设该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2025年应该投入的电力型公交车为a7＝a1q6＝128×1.56＝1 458(辆). (2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，依据题意， 得>，即Sn>5000， 由Sn＝>5000， 得1.5n>. 两边取常用对数，则n lg 1.5>lg ， 即n>≈7.3， 又n∈N＋，因此n≥8. 所以到2026年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. [素养拓展练] 14．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC的边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧．如此下去…，请回答以下问题： (1)所得螺旋线CA1 ，A1A2 ，A2A3…的长度是否能够构成等差数列？若能，请求出通项公式an，若不能，请说明理由； (2)设bn＝3an，请证明数列{bn}为等比数列； (3)若bn＝can，则数列{bn}能否为等比数列，若不能，则c满足什么条件时，数列{bn}为等比数列．(直接给出结论，不要求证明) 解：根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3，…，A3n－2A3n－1，A3n－1 A3n的长度分别为，，…，， 化简得，2×，3×，…，3n×， 此数列是以为首项，以为公差，项数为3n的等差数列． (1)螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度能够构成等差数列，根据等差数列的通项公式得an＝＋(n－1)×＝. (2)证明：由(1)得bn＝3， 而＝＝3(n≥2)， 故数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列． (3)不能，当c≠0时，数列{bn}为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$