课时作业10 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十)　等比数列前n项和的综合应用(习题课) 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝(　　) A．282 B．147 C．45 D．70 解析：选B　S6＝a1＋a2＋…＋a6＝(2＋22＋…＋26)＋(1＋2＋…＋6)＝147. 2．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　) A．1，1 B．－1，－1 C．1，0 D．－1，0 解析：选D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1， S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0. 3．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A　由题知a1＝1，q＝，∵该等比数列前n项和Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an. 又∵Sn＝＝， ∴an＝. 4．(多选)设{an}是等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．＋ B．＋ C．2n D．n2＋n 解析：选AC　由题意设等差数列公差为d， 则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d. 又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6， 即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. ∴d＝或d＝0. ∴Sn＝na1＋d＝＋或Sn＝2n. 5．在等比数列{an}中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________，{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和为________． 解析：在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－a＝0，解得a3＝2. 在等差数列{bn}中，b3＝a3＝2， 所以S5＝＝＝5b3＝5×2＝10. 答案：2　10 6．已知等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170，a2＋a4＋…＋a2m＝340，则正整数m＝________． 解析：因为等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170，a2＋a4＋…＋a2m＝340， 所以公比q＝＝＝2， S2m＝＝170＋340＝510， 解得m＝4. 答案：4 7．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn. 解：(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即3q2－10q＋3＝0. ∵公比q>1，∴q＝3. 又首项a1＝3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n. (2)∵是首项为1，公差为2的等差数列， ∴bn＋an＝1＋2(n－1). 即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n-1， Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n-1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)] ＝－(3n－1)＋n2. 8．某种抗病毒药品具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7∶00和晚上7∶00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1 000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？ 解：由题意得，第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量为700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量为700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n-1， 所以第n次服药后，体内药物的含量为 700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n-1 ＝＝1 000×[1－(0.3)n]， 当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1 000，该药在从体内含量不超过1 000毫克，不会产生副作用． [能力提升练] 9．“十一”期间，北京十家重点公司将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　) A.211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 解析：选B　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n-1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝ 212－57. 10．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B　因为等比数列{an}的首项为，公比为－， 所以Sn＝＝1－. ①当n为奇数时，Sn＝1＋随着n的增大而减小，则1<Sn≤S1＝，故0<Sn－≤； ②当n为偶数时，Sn＝1－随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn<1，故－≤Sn－<0. 所以Sn－的最大值与最小值的比值为＝－. 11．已知数列{an}是一个公差不为0的等差数列，且a2＝2，并且a3，a6，a12成等比数列，则＋＋＋…＋＝________． 解析：∵{an}为等差数列，∴a3＝a2＋d＝2＋d，a6＝a2＋4d＝2＋4d，a12＝a2＋10d＝2＋10d，又∵a3，a6，a12成等比数列， ∴a＝a3a12⇒(2＋4d)2＝(2＋d) (2＋10d)⇒d＝1， ∴an＝a2＋(n－2)d＝n，∴＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝. 答案： 12．已知数列{an}是首项为32的正项等比数列，Sn是其n项和，且＝，若Sk≤4·(2k－1)，则正整数k的最小值为________． 解析：设等比数列{an}的公比为q>0， ＝， 所以＝＝q2＝， 解得q＝. 所以Sk＝＝64. 不等式Sk≤4·(2k－1)， 即64≤4·(2k－1)， 化简为16≤2k，则正整数k的最小值为4. 答案：4 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d. 由即 解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n+1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)·2n+1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)·2n+2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n+1－(n＋1)·2n+2] ＝3× ＝－3n·2n+2， 所以Tn＝3n·2n+2. [素养拓展练] 14．有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表)：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等．已知a24＝1，a42＝，a43＝. (1)求公比q； (2)用k表示a4k； (3)求a11＋a22＋…＋an n的值． 解：(1)因为每一行的数成等差数列， 所以a42，a43，a44成等差数列， 所以a44＝2a43－a42＝. 又每一列的数成等比数列， 故a44＝a24·q2⇒q2＝＝. 又an>0，所以q>0，故q＝. (2)由已知，第四行的数成等差数列， 且公差d＝a43－a42＝. 因为a4k为此行中第k个数， 所以a4k＝a42＋(k－2)d＝＋(k－2)· ＝(k＝1，2，…，n). (3)因为第k列的数成等比数列，且a4k为此列中第4个数， 所以akk＝a4k·qk-4＝· ＝k·(k＝1，2，…，n). 设S＝a11＋a22＋…＋an n， 则S＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，　① S＝＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×＋n×，　② 由①－②，整理得S＝2－. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$