课时作业9 等比数列的前n项和（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(九)　等比数列的前n项和 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝(　　) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q， 由a1＝1，a4＝，得q3＝，解得q＝， 于是S10＝＝＝2－，故选B. 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：选C　设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.又a1＝1，所以S4＝＝15. 3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B　显然q≠1，由Sn＝，得93＝， 解得q＝2.由an＝a1qn-1， 得48＝3×2n-1，解得n＝5. 4．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和为(　　) A．31 B．33 C．35 D．37 解析：选B　根据等比数列性质得＝q5，所以＝25，所以S10＝33. 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________． 解析：由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.∴S5＝＝. 答案： 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________． 解析：S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2. 答案：－2 7．已知等比数列{an}． (1)若q＝2，S4＝1，求S8的值； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S6的值． 解：(1)法一∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. 法二：∵S4＝＝1，且q＝2， ∴S8＝＝·(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17. (2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0， ∴②÷①得，q3＝，即q＝， ∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×＝1，S6＝＝＝. 8．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题意an＝qn-1， 由a5＝4a3得q4 ＝4q2，∴q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n-1或an＝2n-1. (2)若an＝(－2)n-1，则Sn＝， 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解， 若an＝2n-1，则Sn＝2n－1， 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. [能力提升练] 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17 ＋a18 ＋a19 ＋a20＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16. 10．(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，＋＋＝，则(　　) A．{an}必是递减数列 B．S5＝ C．公比q＝4或 D．a1＝4或 解析：选BD　设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 因为a1a5＝a＝1，a3＝a1q2＝1 ， 所以＋＋＝1＋＋＝1＋＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋＝， 解得或 当a1＝4，q＝时，S5＝＝，数列{an}是递减数列； 当a1＝，q＝2时，S5＝，数列{an}是递增数列； 综上，S5＝. 11．设等比数列的前n项和为Sn，满足S3＋S6＝S9，则数列的公比q＝________． 解析：①当q＝1时， S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， 所以S3＋S6＝S9成立， ②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，得 ＋＝， 所以q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. 所以(q3－1)2·(q3＋1)＝0，因为q≠1， 所以q3＋1＝0，所以q＝－1. 综上，q＝1或q＝－1. 答案：1或－1 12．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝3an＋，则数列{bn}的前n项和Tn＝________． 解析：依题意得＝n＋， 即Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－， 所以an＝2n－(n∈N＋)， 则bn＝3an＋＝32n， 由＝＝32＝9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9， 故Tn＝＝. 答案： 13．已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和． 解：(1)根据已知条件 整理得 解得 (2)因为q≠1， 所以解得 所以Sn＝＝－. (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn ＝n－× ＝n－× ＝n＋. [素养拓展练] 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n∈N＋，求： (1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； (2)a2 ＋a4＋a6＋…＋a2n的值． 解：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得 a2＝S1＝a1＝， a3＝S2＝(a1＋a2)＝， a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝， 由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)， 得an＋1＝an(n≥2)， ∵a2＝，∴an＝×(n≥2). ∴数列{an}的通项公式为an＝ (2)由(1)可知，a2 ，a4，…，a2n是首项为，公比为，项数为n的等比数列， ∴a2＋a4 ＋a6＋…＋a2n ＝·＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$