课时作业8 等比数列的性质及其应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(八)　等比数列的性质及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选D　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立，即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件． 2．(多选)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选AB　由an＝·2n-1＝2n-4，知a4＝1，a8＝16，其等比中项为±4. 3．已知等比数列{an}中a7 ＝－1，a19＝－8，则a13＝(　　) A．－2 B．2 C．16 D．－32 解析：选A　由等比数列的性质得：＝(q6)2＝8， q6＝2，a13＝a7·q6＝(－1)·2＝－2. 4．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　) A．65只 B．66只 C．216只 D．36只 解析：选B　设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…， ∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列． ∴a7＝a1·q7-1＝66. 5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． 解析：设此三数为3，a，b，则 解得或所以这个未知数为3或27. 答案：3或27 6．在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝________． 解析：∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根． ∴∴∴a7＞0. 又a7是a5与a9的等比中项， ∴a＝a5·a9＝1，∴a7＝1. 答案：1 7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3 ＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式． 解： 设{an}的公差为d. 由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d). 若a2＝0，则d2＝－2d2， 所以d＝0，此时Sn＝0，不符合题意； 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2. 因此{an}的通项公式为 an＝3或an＝2n－1. 8．已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a＋2a3a5＋a＝36， 即(a3＋a5)2＝36， 又∵an>0，∴a3＋a5＝6. (2)设等比数列{an}的公比为q， ∵a2－a5＝42，∴q≠1. 由已知，得 ∴ 解得 若G是a5，a7的等比中项， 则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9， ∴a5，a7的等比中项为±3. [能力提升练] 9．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a7>1 C．a8>1 D．Tn的最大项为T7 解析：选ABD　∵a1>1，a7·a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1， ∴A正确；B正确；C错误；D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确． 10．已知数列{an}(n∈N＋)是首项为1的等比数列，设bn＝an＋2n，若数列{bn}也是等比数列，则b1 ＋b2＋b3＝(　　) A．9 B．21 C．42 D．45 解析：选B　设数列{an}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2， ∴b1＝a1＋21＝3，b2＝a2＋22＝q＋4，b3＝a3＋23＝q2＋8. ∵数列{bn}也是等比数列， ∴(q＋4)2＝3(q2＋8)，解得q＝2. 当q＝2时，an＝2n-1，bn＝3·2n-1，符合题意，故q＝2. ∴b1＋b2＋b3＝3＋6＋12＝21. 11．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log (a5＋a7＋a9)＝(　　) A．－ B．－5 C．5 D． 解析：选B　由log3 an＋1＝log3 an＋1(n∈N＋)， 得log3 an＋1－log3 an＝1且an>0， 即log3 ＝1，得＝3， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3， 所以a5＋a7＋a9＝9×33 ＝35. 所以log(a5＋a7＋a9)＝log 35＝－log3 35＝－5. 12．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22· 29＝211＝2048. 答案：2048 13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数． 解： 设三个数为，a，aq，∴a3＝－8， 即a＝－2，∴三个数为－，－2，－2q. (1)若－2为－和－2q的等差中项， 则＋2q＝4， ∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾． (2)若－2q为－与－2的等差中项， 则＋1＝2q，2q2－q－1＝0，q＝－或q＝1(舍去)， ∴三个数为4，－2，1. (3)若－为－2q与－2的等差中项， 则q＋1＝，∴q2＋q－2＝0， ∴q＝－2或q＝1(舍去)， ∴三个数为1，－2，4. 综合(1)(2)(3)可知，这三个数为－2，1，4. [素养拓展练] 14．某市2019年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解： (1)设中低价房面积构成数列{an}， 由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4750，得n2＋9n－190≥0，令f(n)＝n2＋9n－190， 当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10， 由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．所以n≥10.故到2028年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08， 则bn＝400×1.08n-1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×1.08n-1×0.85，解得满足不等式的最小正整数n＝6. 故到2024年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$