课时作业7 等比数列的定义及通项公式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(七)　等比数列的定义及通项公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．设{an}为等比数列，下列数列一定为等比数列的是(　　) A．{2an} B．{a} C．{2an} D．{log2|an|} 解析：选AB　设an＝a1qn-1，对于A，2an＝2a1qn-1，所以数列{2an}是等比数列；对于B，a＝aq2n-2＝a(q2)n-1，所以数列{a}是等比数列；对于C，2an＝2a1qn-1，＝＝2a1qn-1－a1qn-2不是一个常数，所以数列{2an}不是等比数列；对于D，＝不是一个常数，所以数列{log2|an|}不是等比数列． 2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2 ＋a3＝6，则a7＝(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 解析：选A　由题意 解得∴a7＝1·26＝64. 3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：选C　∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n-1， ∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607. 4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选C　因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，又am＝a1qm-1＝－qm-1，所以－q10＝－qm-1，所以10＝m－1，所以m＝11. 5．在等比数列{an}中，若a1 ＋a2＝18，a2 ＋a3＝12，则公比q为________． 解析：因为a1＋a2＝a1(1＋q)＝18， a2＋a3＝a1q(1＋q)＝12， 则公比q＝＝＝. 答案： 6．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2 ＝1，a3＋a4 ＝4，则a9 ＋a10＝________． 解析：∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，　① a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝4，　② ②÷①得q2＝4⇒或 ∴a9＋a10＝a1q8 (1＋q) ＝ 答案：28 7．在等比数列{an}中， (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a3＝2，a2＋a4＝，求通项公式an. 解：(1)因为an＝a1qn-1， 所以4·2n-1＝128， 所以2n-1＝32，所以n－1＝5，n＝6. (2)a1＝＝＝5，故a1＝5. (3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0. a2＝＝，a4＝a3q＝2q， 所以＋2q＝，解得q1＝， q2＝3. 当q＝时，a1＝18， 所以an＝18×＝2×33-n， 当q＝3时，a1＝， 所以an＝×3n-1＝2×3n-3. 综上，当q＝时，an＝2×33-n； 当q＝3时，an＝2×3n-3. 8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列． 证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q. 因为c＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋ q2)，所以c－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p＋q)2. 由于p≠q，所以p－q≠0，又a1≠0，b1≠0， 因此≠. 故数列{cn}不是等比数列． [能力提升练] 9．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析：选C　由题意知2×a3＝a1＋2a2， 即a1q2＝a1＋2a1q， ∴q2－2q－1＝0.∴q＝1＋或q＝1－(舍去). ＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 10．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， ， ，， ，，， … 记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：选C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比教列，而且每一行的公比都等于，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝. 11．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________． 解析：由题意，知a2－a1＝＝2， 设公比为q，则－1＝(－4)·q4， ∴q2＝，∴b2＝－4×q2＝－2. 所以＝＝－1. 答案：－1 12．设等比数列{an}满足a1 ＋a3＝10，a2 ＋a4＝5，则a1a2……an的最大值为________． 解析： 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝(n∈N＋)，即数列为递减数列．当n≤4时，an≥1；当n≥5时，0<an<1，所以当n＝3或n＝4时，a1a2…an最大，又a2＝4，a3＝2，a4＝1，所以a1a2……an≤a1a2a3a4＝64. 答案：64 13．已知数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝n－an. (1)求证：数列{an－1}是等比数列； (2)令bn＝(2－n)(an－1)，求数列{bn}的最大项． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝. 又a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝n＋1－an＋1， 即n－an＋an＋1＝n＋1－an＋1， ∴2an＋1＝1＋an，∴an＋1－1＝(an－1). 又a1－1＝－≠0， ∴数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列． (2)由(1)，知an－1＝×＝－， ∴bn＝(2－n)·(an－1)＝， ∴bn＋1－bn＝－＝. 当n<3时，bn＋1－bn>0，即b1<b2<b3， 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b4＝b3， 当n>3时，bn＋1－bn<0，即b4>b5>b6>…， ∴数列{bn}的最大项为b4＝b3＝. [素养拓展练] 14．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn-1＝2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$