课时作业6 等差数列前n项和的性质及应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B　因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1. 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7－S5＝24，a3＝5，则S7＝(　　) A．25 B．49 C．15 D．40 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d. 由等差数列的性质可得： S7－S5＝24＝a6＋a7，a3＝5， 所以2a1＋11d＝24，a1＋2d＝5， 解得a1＝1，d＝2，则S7＝7＋×2＝49. 3．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A． B． C． D． 解析：选B　S奇＝， S偶＝， ∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. 4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 解析：选D　由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 ＝2，S4 ＝8，则S6＝________． 解析：由等差数列{an}的前n项和性质可得： S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， 即2×6＝2＋S6－8，解得S6＝18. 答案：18 6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2017，－＝6，则S2021＝________． 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和， 所以数列也是等差数列，设公差为d. ＝－2017，因为－＝6， 所以6d＝6，解得d＝1， 所以＝－2017＋(2021－1)×1＝3， 解得S2021＝6063. 答案：6063 7．(1)在等差数列{an}中，＝，求的值； (2)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，求该数列前9项和的值． 解：(1)∵{an}为等差数列， ∴S5＝＝5a3，S9＝＝9a5， ∴＝＝×＝1. (2)利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)， 解得S9＝210. 8．在等差数列{an}中，a10 ＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项的和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<， ∴当n≤17，n∈N＋时，an>0； 当n≥18，n∈N＋时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大． (2)当n≤17时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ [能力提升练] 9．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 解析：选ABD　∵S5<S6＝S7>S8， ∴a6>0，a7＝0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为Sn的最大值． S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0. ∴S9<S5，故C错． 10．已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使为整数的正整数n的个数是(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 解析：选C　由题意，可得＝， 则＝＝＝ ＝＝＝＝＝7＋， 经验证，知当n＝1，2，4，8时，为整数， 所以使为整数的正整数n的个数是4，故选C. 11.已知数列{an}中a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋…＋|a30|＝________． 解析：因为a1＝－60，an＋1＝an＋3， 所以{an}是首项为a1＝－60，，公差为3的等差数列， 所以an＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0，得n<21. 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30| ＝－2(a1＋a2＋…＋a20)＋(a1＋a2＋…＋a30)＝－2×＋ ＝765. 答案：765 12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项和为180，Sn＝324(n>6)，则数列的项数n＝________，a9 ＋a10＝________． 解析：由题意，可知a1＋a2＋…＋a6＝36，　① an＋an－1＋…＋an－5＝180，　② 由①＋②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216， ∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324， ∴18n＝324，∴n＝18，∴a1＋a18＝36， ∴a9＋a10＝a1＋a18＝ 36. 答案：18　36 13．已知数列{an}，an∈N＋，Sn是其前n项和，Sn＝(an＋2)2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)设bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋2)2， 解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2， 即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2， 整理得，(an－2)2－(an－1＋2)2＝0， 即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∵an∈N＋，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－4＝0， 即an－an－1＝4(n≥2). 故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设{bn}的前n项和为Tn， ∵bn＝an－30，且由(1)知an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， ∴bn＝(4n－2)－30＝2n－31， 故数列{bn}是单调递增的等差数列． 令2n－31＝0，得n＝， ∵n∈N＋，∴当n≤15时，bn<0； 当n≥16时，bn>0，即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…， 所以当n＝15时，Tn取得最小值，最小值为T15＝×15＝－225. [素养拓展练] 14．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1 000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元． (1)你会怎样选择增资方案？请说明你的理由； (2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问a为何值时，方案乙总比方案甲多增资？ (说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数) 解：(1)设甲方案第n次的增资额为an，则 an＝1000n，第n年末的增资总额为Tn＝500n(n＋1)； 乙方案第n次的增资额为bn，则bn＝300n，第n年末的增资总额S2n＝300n(2n＋1). ∵Tn－S2n＝100n(2－n) ∴只工作一年选择甲方案；只工作两年，随便选；工作两年以上选择乙方案． (2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)， 由题设S2n>Tn， 即a>500·＝250. 经分析知为递减数列， 当n＝1时，取得最大值. 故当a>时， 方案乙总比方案甲多增资． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$