课时作业5 等差数列的前n项和（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(五)　等差数列的前n项和 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2 ＋1，则a5＝(　　) A．7 B．9 C．11 D．12 解析：选B　数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋1， 则a5＝S5－S4＝25＋1－16－1＝9.故选B. 2．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　) A． B．2 C． D．4 解析：选A　设公差为d，由题意得 10a1＋×10×9d＝4， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d，所以＝. 3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2 ＋a3＋…＋a10，则k＝(　　) A．45 B．46 C．47 D．48 解析：选B　因为ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10， 所以a1＋(k－1)d＝10a1＋45d. 因为a1＝0，公差d≠0， 所以(k－1)d＝45d. 所以k＝46.故选B. 4．(多选)等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选BC　由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10， ∴Sn＝－10n＋×2 ＝n2－11n＝－， ∴当n＝5或n＝6时，Sn取最小值， 且S5＝S6＝－＝－30，故选B、C. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n-1. 当n＝1时不满足上式，故an＝ 答案：an＝ 6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和为S5＝10，则其首项a1＝________，公差d＝________． 解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，① S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，② 由①②联立解得a1＝1，d＝. 答案：1　 7．设等差数列{an}的公差为整数，且a4＝a－28，a5＝10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝a3n＋1，若数列{bn}的前n项和Sn＝350，求n. 解：(1)设数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝2，d＝2或a1＝－21，d＝(舍)， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. (2)由bn＝a3n＋1知，bn＝2(3n＋1)＝6n＋2，bn＋1＝6(n＋1)＋2＝6n＋8， 所以bn＋1－bn＝(6n＋8)－(6n＋2)＝6，为常数，故数列{bn}为等差数列，且公差d＝6，首项b1＝8， 所以Sn＝8n＋×6＝3n2＋5n. 令3n2＋5n＝350，即3n2＋5n－350＝0， 解得n＝10或n＝－(舍)，故n＝10. 8．在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值． 解：法一：(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则有解得 ∴当 即时，Sn有最小值， 解得11≤n≤12， ∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132. 法二：(配方法)由方法一得 ∴Sn＝－22n＋×2＝n2－23n＝－， ∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132. [能力提升练] 9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1 ＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 解析：选C　 因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am， 由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0， 由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2， 又S2m－1＝38，即＝38， 即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C. 10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 解析：选B　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确． {Sn}中最大项为S6，④不正确． 故正确的是①②. 11．若等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1>0，Sn为其前n项和，则Sn最大时n＝________． 解析：∵3a8＝5a13，∴3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)， ∴d＝－， 故an＝a1＋(n－1)d＝a1－(n－1)＝(41－2n). 由a1>0可得，当n≤20时，an>0， 当n>20时，an<0，∴Sn最大时n＝20. 答案：20 12．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是 ________． 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d， 由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2， 即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d， 代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0， 所以d＝3，a1＝－4. 故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20. 法二：设等差数列{an}的公差为d， 由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2. 所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2， 代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0， 所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3， 故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20. 答案：20 13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5 ＝22. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， ∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根． 又公差d>0，∴a3<a4， ∴a3＝9，a4＝13. ∴∴∴an＝4n－3. (2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝ 2n2－n， ∴bn＝＝. ∴b1＝，b2＝，b3＝. ∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3， ∴2c2＋c＝0， ∴c＝－(c＝0舍去). 经检验，c＝－符合题意， ∴c＝－. [素养拓展练] 14．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. (1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式； (2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式． 解： (1)因为S14＝a1×14＋d＝14a1＋91d，且S14＝98， 所以14a1＋91d＝98， 即2a1＋13d＝14，　① 又因为a11＝a1＋10d，且a11＝0， 所以a1＋10d＝0，　② 由①②解得a1＝20，d＝－2， 所以{an}的通项公式为an＝22－2n. (2)因为S14＝14a1＋91d，又因为S14≤77， 所以14a1＋91d≤77，即2a1＋13d≤11， 又因为a11＝a1＋10d，且a11>0，所以a1＋10d>0， 由得 由①＋②得－7d<11，即d>－； 由①＋③得13d≤－1，即d≤－， 于是－<d≤－. 又因为d∈Z，所以d＝－1. 又因为2a1＋13d≤11，所以a1≤12. 因为a1＋10d>0，所以a1>－10d，所以a1>10， 所以10<a1≤12，又a1∈Z，所以a1＝11或a1＝12， 故所有可能的数列{an}的通项公式为an＝12－n或an＝13－n. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$