课时作业4 等差数列的性质及其应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四)　等差数列的性质及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　) A．45 B．75 C．180 D．300 解析：选C　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. 2.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37 ＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析：选C　设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， 所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0. 所以c37＝100. 3.(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 解析：选ABD　因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确， 取a＝1，b＝2，c＝3， 则a2＝1，b2＝4，c2＝9不成等差数列，故A不正确． 而log2 1，log2 2，log2 3也不成等差数列，故B不正确． 而21，22，23也不成等差数列，故D不正确． 4．如果等差数列{an}中，a4 ＋a5 ＋a6＝15，那么a1 ＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝________． 解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5， ∴a4＋a5＋a6＝3a5＝15，∴a5＝5， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9 ＝ (a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3 ＋a7)＋(a4＋a6)＋a5 ＝9a5＝9×5＝45. 答案：45 5．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________． 解析：∵a7＋a1＝2a4， ∴a7－2a4＝－a1＝－1，∴a1＝1， 又a3＝0，∴2d＝－1，d＝－. 答案：－ 6．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________． 解析：因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3， 又a2＝2，所以d＝， an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n＋. 答案：n＋ 7．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解： (1)原数列的公差d＝－3－(－5)＝， 所以新数列的公差d′＝d＝， 故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－. (2)设28是新数列的第n项，则－＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项． 8．在等差数列{an}中． (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17， 由解得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. [能力提升练] 9．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 解：选C　因为数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，所以2a1an＝2a＋a1(n－1)d.又数列{2a1an}为递减数列，所以＝2－a1d>1＝20，所以a1d<0. 10．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解：选C　由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－⇒{an}是等差数列，则an＝－n. 因为ak·ak＋1<0， 所以<0， 所以<k<， 又因为k∈N＋，所以k＝23. 11．已知实数a>0且a≠1，函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N＋)，且{an}是等差数列，则a＝________，b＝________． 解析： a1＝a，a2＝a2，a3＝3a＋b，a4＝4a＋b，所以等差数列{an}的公差为a4－a3＝a，则a2－a1＝a2－a＝a，解得a＝2，则a1＝2，a2＝4，a3＝6＋b＝6，所以b＝0. 答案：2　0 12．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为______________． 解析：由题意得an＋1＋an＝4n－3，① an＋2＋an＋1＝4n＋1，② ②－①，得an＋2－an＝4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－. ∴an＝2n－. 答案：an＝2n－ 13．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件． 试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次) 解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，利润分别为b1，b2，…，b10， 则{an}，{bn}均为等差数列， 且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2， 所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63， bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6， 所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6) ＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864. 显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864. 所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润． [素养拓展练] 14．已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2，5，8，…，{bn}为1，5，9，…，它们的项数均为40项，探究它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m，n∈N＋，且1≤n≤40，1≤m≤40). 令an＝bm，得3n－1＝4m－3， 即n＝＝， 令2m－1＝3t，因为(2m－1)∈N＋且为奇数， 所以t∈N＋且为奇数，所以m＝，n＝2t. 又因为1≤n≤40，1≤m≤40， 所以 所以 故≤t≤20，又t∈N＋且为奇数， 所以它们共有10个数值相同的项． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$