课时作业3 等差数列的定义及通项公式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(三)　等差数列的定义及通项公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的为(　　) A．1，3，5，7，9 B．2，0，－2，0，－6，0，… C．，，，，… D．＋1，，－1 答案：ACD 2．已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为(　　) A.2n－5 B．2n－3 C．2n－1 D．2n＋1 解析：选B　已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1，1，3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋. 3．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 解析：选B　由题意， 得 解得 4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3 ＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 解析：选B　由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8. 5．已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d＝________． 解析：根据题意得： a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d) ＝－a1＋2d＝1，　① 又a3＝a1＋2d＝－2，　② 由①②联立得，d＝－. 答案：－ 6．若{an}是等差数列，a3 ＋a8＝22，a6＝7，则a5＝______． 解析：由题意知 即解得 所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15. 答案：15 7．已知数列{an}中，a1＝1，a3＝4. (1)若数列{an}是等差数列，求a11的值； (2)若数列是等差数列，求数列{an}的通项公式． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由题设，2d＝4－1＝3，所以d＝. 所以an＝1＋(n－1)＝－＋， 所以a11＝16. (2)设bn＝，则数列{bn}是等差数列， b1＝，b3＝， 所以2d＝－，即d＝－. 所以bn＝－(n－1)＝. 即＝，所以an＝. 8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n， 得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1， 即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n， 又bn＝，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n-1(n∈N＋). [能力提升练] 9．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D　设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝. 10．首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．d> B．d<3 C．≤d<3 D．<d≤3 解析：选D　该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d， 由题意得解得<d≤3. 11．数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，记数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x22＝77，则x11＋x12＝________． 解析：因为数列{an}满足－＝d(常数)， 则称数列{an}为调和数列， 因为为调和数列，所以{xn}成等差数列， 设数列{xn}是首项为x1，公差为d的等差数列， 因为x1＋x2＋…＋x22＝77， 所以22x1＋231d＝77， 即2x1＋21d＝7. 所以x11＋x12＝2x1＋21d＝7. 答案：7 12．下表是一个有i行j列的表格，已知每行每列都成等差数列， 4 7 a1，3 … a1，j 7 12 a2，3 … a2，j 续表 a3，1 a3，2 a3，3 … a3，j … … … … … ai，1 ai，2 ai，3 … ai，j 其中ai，j表示表格中第i行第j列的数，则a4，5＝______，ai，j＝________． 解析：根据图表和每行、每列都是等差数列， 该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列， 则a1，j＝4＋3(j－1)， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列， 则a2，j＝7＋5(j－1)， 第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列， 因此ai，j＝4＋3(i－1)＋(2i＋1) (j－1)＝2ij＋i＋j. 可得a4，5＝2×4×5＋4＋5＝49. 答案：49　2ij＋i＋j 13．已知等差数列{an}：3，7，11，15，…. (1)135，4m＋19(m∈N＋)是{an}中的项吗？试说明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N＋)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由． 解：a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34， 所以135是数列{an}中的第34项． 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋， 所以4m＋19是{an}中的第m＋5项． (2)因为ap，aq是{an}中的项， 所以ap＝4p－1，aq ＝4q－1. 所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1) ＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1， 2p＋3q－1∈N＋， 所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项． [素养拓展练] 14．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋(－1)n+1·(1＋λn)，其中λ是常数，n∈N＋. (1)当a2＝－1时，求λ的值； (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？证明你的结论； (3)若对于任意n∈N＋，都有an>0，求λ的取值范围． 解：(1)因为a2＝－1，所以3－2λ＝－1，所以λ＝2. (2)a1＝3＋λ，a2＝3－2λ，a3＝7＋3λ，a4 ＝7－4λ， 若存在λ使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即2a2＝a1＋a3， 所以2(3－2λ)＝3＋λ＋7＋3λ，所以λ＝－， a2－a1＝－3λ＝与a4－a3＝－7λ＝矛盾， 所以不存在λ使{an}为等差数列． (3)因为an>0， 所以2n＋(－1)n+1·(1＋λn)>0， 即(－1)n·λ<2＋，n∈N＋， ①当n为正偶数时，λ<2－， 因为2－随n的增大而增大，所以λ<2－＝. ②当n为正奇数时，λ＞－2－， 因为－2－随n的增大而增大，所以λ≥－2. 综上，λ∈. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$