课时作业2 数列的函数特性（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二)　数列的函数特性 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　) A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1 C.an＝ D.an＝(－1)n 解析：选AC　可以通过画数列的图象一一判断．B中数列有增有减，D中数列是摆动数列． 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A.R B．(0，＋∞) C.(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：选C　∵{an}是递减数列， ∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 3．(多选)数列{an}的通项公式为an＝2n2－ 22n，则数列{an}各项中最小项是(　　) A.第4项 B．第5项 C.第6项 D．第7项 解析：选BC　an＝2n2－22n＝2－， 故当n＝5或n＝6时， an的值最小，最小值为a5＝a6＝－60. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________． 解析： 因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 答案：1－ 5．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N＋)，且对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立，则实数λ的取值范围是________． 解析：法一：由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－(2n＋1)恒成立．而n∈N＋，所以λ>－3. 法二：因为对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立， 所以数列{an}是递增数列． 由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N＋)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1<a2<…<an<…即可．欲满足上述不等关系，如图，只需－<，解得λ>－3. 答案： (－3，＋∞) 6．数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第______项，最大项为________． 解析：因为an＝－2n2＋9n＋3 ＝－2＋， 又n∈N＋，故当n＝2时，an取到最大值13. 答案：2　13 7．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n，写出它的前5项，并用图象表示出来． 解：a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20，a5＝－20. 图象如图所示． 8．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． 解： (1)数列{an}是递增数列． 理由如下：∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1－an＝＋－ ＝－＝. 又n∈N＋，∴an＋1－an>0. ∴数列{an}是递增数列． (2)证明：由(1)知数列{an}为递增数列， ∴数列{an}的最小项为a1＝. ∴an≥a1＝，即an≥对一切正整数恒成立. [能力提升练] 9．对任意的a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是(　　) 解析：选A　根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. 10．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3 ＋a5等于(　　) A. B． C. D． 解析：选C　由a1·a2·a3·…·an＝n2，(n≥2)得 a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，(n≥3)， ∴an＝(n≥3)，∴a3＝，a5＝， ∴a3＋a5＝. 11．已知数列{an}的通项为an＝(n∈N＋)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是____________． 解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增， 因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15. 当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n ＝－＋. 因为a5是{an}中的最大值， 所以4≤≤5.5，且a5＝－25＋5(a－1)≥15， 解得9≤a≤12. 所以a的取值范围是[9，12]. 答案：[9，12] 12．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是第________项． 解析：令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2 ，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝，所以≤，由于n∈N＋，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大． 答案：9或10 13．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列(an)的单调性，并证明你的结论． 解： (1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2 an)＝－2n， 所以有2log2 an－2－log2 an＝－2n， 即an－＝－2n， 所以a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±. 因为an>0，所以an＝－n(n∈N＋). (2)数列{an}为递减数列，证明如下： 因为＝ ＝<1，又an>0， 所以an＋1<an，故数列{an}是递减数列． [素养拓展练] 14．已知在数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0). (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解：(1)∵a＝－7，∴an＝1＋. 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N＋)， ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， ∴结合函数f(x)＝1＋的单调性， 知5<<6， ∴－10<a<－8. 故实数a的取值范围为(－10，－8). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$