第2章 6.1 函数的单调性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 学习目标 素养要求 1.理解导数的符号与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会利用导数求函数的单调区间． 1.通过导数与函数单调性关系的学习，提升数学抽象、直观想象的核心素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的符号与函数的单调性之间的关系 　已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示． [问题1]　试结合图象指出以上三个函数的单调性． 答：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． [问题2]　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． 答：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在_(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． [问题3]　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． 答：当f′(x)>0时，f(x)为增函数； 当f′(x)<0时，f(x)为减函数． ►知识填空 1．导数的符号与函数的单调性之间的关系 (1)若在定义域的某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增． (2)若在定义域的某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 2．函数单调递增(或递减)的充要条件 若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 3．函数的变化快慢与导数绝对值的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)在(a，b)内各点处的切线的倾斜角都是锐角．(　　) (2)若f(x)在(a，b)内单调递增，则在(a，b)内必有f′(x)>0.(　　) (3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．(　　) (4)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大．(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)＞0　　　B．f′(3)＜0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析：选B　由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减， 则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 3．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：选C　y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3<0得－1<x<1， ∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1，1). 4．函数f(x)＝x3－x2－3x＋2的单调增区间是______． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案：(－∞，－1)，(3，＋∞) 题型一　利用导数求函数的单调区间 [例 1]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝. 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0， 令f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为； 令f′(x)<0，解得x<， 又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3). 求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集； (4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．　　 　求函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x(a≠1的常数)的单调区间． 解：由f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x， 得f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1). ∵a≠1，∴－1≠1－2a. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a. (1)当a>1时，1－2a<－1， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x)    由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1). (2)当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1, 1－2a). 综上，当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－ 2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)； 当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a). 题型二　函数与导函数图象之间的关系 [例 2]　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) (2)函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________． 解：(1)由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数的图象应始终在x轴上方；当x>0时，函数先增后减再增，导数值应先正后负再正，对应的图象先在x轴上方然后又在x轴下方，再回到x轴上方．对照选项，只有D正确． (2)函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0， 所以f′(x)<0的解集为∪(2，3). 答案：(1)D　(2)∪(2，3) 研究函数与导函数图象之间关系的方法 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象．　　 　在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(　　) A．①②　　　　　　　B．①③ C．③④ D．①④ 解析：选C　当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误． 题型三　已知函数单调性求参数范围 [例 3]　若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]上单调递减，求实数a的取值范围． 解： 法一：f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a). ①当a＝0时，f′(x)≥0，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去． ②当a<0时，由f′(x)≤0得a≤x≤0， 即f(x)的减区间为， 与y＝f(x)在[0，2]内单调递减不符，舍去． ③当a>0时，由f′(x)≤0得0≤x≤a， 即f(x)的减区间为. 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减得a≥2得a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). 法二：f′ (x)＝3x2－2ax. 由y＝f(x)在[0，2]内单调递减知3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立． ①当x＝0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立得a∈R. ②当x≠0时，由3x2－2ax≤0在[0，2]内恒成立， 得a≥x恒成立，故只需a≥， 又x在[0，2]上最大值为3，故a≥3. 综上可知，a的取值范围是[3，＋∞). 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性， 求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．　　 1．已知函数f(x)＝在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是(　　) A．　　　　　B．(－∞，3) C． D．(－∞，) 解析：选A　易得f′(x)＝＋x－b＝. 根据题意，得f′(x)>0在上有解． 令h(x)＝2x2－2bx＋1， 因为h(0)＝1>0， 所以只需h(2)>0或h>0， 解得b<，故选A. 2．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________． 解析：∵f (x)＝x3－kx， ∴f′(x)＝3x2－k， 若函数f(x)在区间(－3，－1)上不单调， 则函数f′(x)在(－3，－1)上存在一个变号零点． 则f′(－3)·f′(－1)<0. ∴(27－k)(3－k)<0. 解得3<k<27. 答案：(3，27) [课堂小结] 1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域，在定义域内通过解f′(x)>0或f′(x)<0得到两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接． 2．已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$