第2章 5 简单复合函数的求导法则（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§5　简单复合函数的求导法则 学习目标 素养要求 1.理解复合函数的概念． 2．掌握简单复合函数的求导法则并能熟练应用． 1.通过学习复合函数的概念，培养数学抽象的核心素养． 2．借助复合函数求导法则的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　复合函数的求导法则 [问题 1]　已知y＝(3x＋2)2，y＝sin . 这两个函数是复合函数吗？ 答：是复合函数． [问题 2]　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合而成的． 答：令u＝φ(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(φ(x))＝(3x＋2)2. [问题 3]　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，φ(x)＝3x＋2的导数． 答：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，φ′(x)＝3. [问题 4]　观察问题3中的导数有何关系． 答：y′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x). ►知识填空 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (3)函数f′(x)＝cos 2x导数为f′(x)＝－sin 2x.(　　) (4)函数f(x)＝ln (5x)的导数为f′(x)＝.(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．f(x)＝ln (cos2x)的导数是(　　) A．　　　　　　B． C． D． 解析：选D　因为f(x) ＝ln cos2x， 所以f′(x)＝＝－. 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4. 4．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析：易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a， 故a·＝－1，则a＝2. 答案：2 题型一　求简单的复合函数的导数 [例 1]　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝sin2； (3)y＝5log2(2x＋1). 解：(1)设y＝u－，u＝1－2x2， 则y′＝(u－)′(1－2x2)′ ＝·(－4x) ＝－(1－2x2)－(－4x) ＝2x(1－2x2)－. (2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin v cos v＝2sin 2v＝2sin . (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝＝. 求复合函数导数的步骤,分层)　　 　求下列函数的导数． (1)y＝e2x+1； (2)y＝； (3)y＝5log2 (1－x)； (4)y＝sin3x＋sin3x. 解：(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux ′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1. (2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux′ ＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4 ＝－6(2x－1)-4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴yx′＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cosx＋3cos 3x. 题型二　复合函数导数的应用 [例 2]　已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． 解：因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)， 所以f′(1) ＝2a－2， 所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝， 解得a＝. 解决此类问题，正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　　 1．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 解析：依题意，设P点坐标为(x0，y0)， 又y′＝－e－x， 所以－e－x0＝－2， 解得x0＝－ln 2，y0＝2，即P(－ln 2，2). 答案：(－ln 2，2) 2．(变条件)若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围． 解：由例题知，直线l的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝<，解得a＞. [课堂小结] 1．求简单复合函数f(ax＋b)的导数 实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对 y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导， 并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键． 2．导数的运算法则、复合函数的求导法则等给导数的求解带来极大的方便，在解决问题时，若能结合题目的条件，合理调配，创新处理，往往会起到事半功倍的效果． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$