第2章 4 导数的四则运算法则（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§4　导数的四则运算法则 学习目标 素养要求 1.结合实例，了解导数四则运算法则的推导过程． 2．掌握导数的四则运算法则并能熟练应用． 1.借助实例，概括导数的四则运算法则，培养数学抽象的核心素养． 2．通过导数四则运算法则的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的四则运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝，Q(x)＝x＋，H(x)＝x－. [问题 1]　求f(x)，g(x)的导数． 答：f′(x)＝1，g′(x)＝－. [问题 2]　求Q(x)，H(x)的导数． 答：∵Δy＝(x0＋Δx)＋－＝Δx＋， ∴＝1－， 当Δx趋于0时，得Q(x)在x＝x0处的导数， ∴Q′(x0)＝lim ＝lim_＝1－. 于是有导数Q′(x)＝1－， 同理H′(x)＝1＋. [问题 3]　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何运算关系？ 答：_Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． [问题 4]　[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？ 答：不对，因为f(x)g(x)＝1， 所以[f(x)g(x)]′＝0， 而f′(x)·g′(x)＝1×＝－. [问题 5]　′＝对吗？ 答：不对，因为＝＝x2， 所以′＝2x，而＝＝－x2. ►知识填空 导数的四则运算法则 运算 法则 语言叙述 加减 运算 [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)． 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)． 乘法 运算 [f(x)g(x)]′＝ ． 特别地 [Cf(x)]′＝Cf′(x). 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数． 除法 运算 ′＝ ． 其中(g(x)≠0) 两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方． (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导． (2)对于不符合求导公式或四则运算法则求导的函数，可先对其进行恒等变形，再求导．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝.(　　) (2)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝.(　　) (3)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (4)当g(x)≠0时，′＝－.(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 答案：B 3．函数y＝的导数是(　　) A．－　　　　　B．－sin x C．－ D．－ 解析：选C　y′＝′ ＝ ＝＝－. 4．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________． 解析：f′(x) ＝2ex＋ (2x＋1)ex，∴f′(0)＝2＋1＝3. 答案： 3 题型一　利用导数四则运算法则求导数 [例 1]　求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2ln x；(2)y＝； (3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sin cos . 解：(1)f′(x)＝(x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′ ＝2x ln x＋x. (2)法一：y′＝′＝＝. 法二：∵y＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝. (3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′ ＝6x2＋. (4)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝1－cos x． (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要理解透彻函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律． (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．　　 　求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3) (3x－2)； (2)y＝＋； (3)y＝x ln x＋2x； (4)y＝x2ex. 解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)∵y＝＋＝＋＝＝－2， ∴y′＝′ ＝ ＝. (3)y′＝(x ln x)′＋(2x)′ ＝x′ ln x＋x(ln x)′＋2x ln 2 ＝ln x＋1＋2x ln 2. (4)y′＝(x2)′ ex＋x2(ex)′ ＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex. 题型二　利用导数求曲线的切线方程问题 [例 2]　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0). 即7x＋y－3＝0. 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．　　 　已知函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.求函数y＝f(x)的解析式． 解：由f(x)的图象经过P(0，2)，知d＝2， 所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6. 所以 即 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2. 题型三　导数运算法则的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. (2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16. 整得，x＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1. 解得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18). 故切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 关于函数的导数的应用及其解决方法 (1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标，总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．　　 　已知函数f(x)＝x2＋4ln x，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　) A.[5，＋∞)　　　　　　B．[4，5] C． D．(－∞，4) 解析：选B　f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时，f′(x0)∈[4，5]， 又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5]. [课堂小结] 1．和(差)导数公式的推广 (1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形： 若y＝f1(x)±f2 (x)±…±fn(x)， 则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). (2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数). (3)[f(x)±c]′＝f′(x). 2．积的导数公式的推广 若y＝f1(x)f2(x)…fn(x). 则有 y′＝f′1(x)f2(x)…fn(x)＋f1(x) f′2(x)…fn(x)＋…f1(x)f2(x)…f′n(x). 3．函数求导的常用技巧 (1)积的形式相对复杂时，考虑将其展开． (2)化根式为分数指数幂的形式． (3)对于三角函数式，尽量化为单一函数． (4)对于分式型的函数，一般先分离常数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$