第2章 2.2 导数的几何意义（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

2．2　导数的几何意义 学习目标 素养要求 1.了解切线的定义，理解导数的几何意义． 2．会利用导数的几何意义求简单函数的切线方程． 1.通过学习切线的定义，导数的几何意义，培养数学抽象的核心素养． 2．通过求切线方程，提升数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　导数的几何意义 [问题]　设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋于A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？ 答：当点B沿曲线趋近于A时，割线AB趋近于确定的位置，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k. ►知识填空 1．曲线的切线定义 如图，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l．称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.(　　) (2)若直线与曲线相切，则该曲线在切线的一侧．(　　) (3)一条直线过点P(x0，y0)与曲线y＝f(x)相切，则点P(x0，y0)一定是切点．(　　) (4)切点一定是切线与曲线的公共点．(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 解析：选B　f′(x0)＝0，即曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合，故选B. 3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA )与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA )＞f′(xB)　　B．f′(xA )＜f′(xB) C．f′(xA )＝f′(xB) D．不能确定 解析：选A　分别作出A，B两点处的切线，由图可知kB<kA，即f′(xB)<f′(xA). 4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________． 解析：由在M处的切线方程y＝x＋2， 得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝. ∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 答案：3 题型一　求曲线的切线方程 [例 1]　(1)已知曲线方程为y＝x2，则过点A(2，4)且与曲线相切的直线方程为_______； (2)过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________． 解析：(1)∵＝＝4＋Δx， ∴当Δx趋于0时，趋于4， 又点A(2，4)在y＝x2上，所以f′(2)＝4. 所以所求切线的斜率k＝4， 故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx) ＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx， 当Δx趋于0时，趋于2，故f′(1)＝2. 所以所求直线的斜率k＝2. 则直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 答案：(1)4x－y－4＝0　(2)2x－y＋4＝0 1．求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0，y0)； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (3)利用Q在曲线上，点P(x1，y1)在切线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).　　 　 已知曲线y＝x3上一点P，求： (1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程． 解：(1)∵y＝x3， ∴＝ ＝ ＝[12＋6Δx＋(Δx)2]， ∴当Δx趋于0时，趋于4，即f′(2)＝4. ∴点P处的切线的斜率为4. (2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0. 题型二　求切点坐标 [例 2]　已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解：设切点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2 ＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴＝4x0＋2Δx. 当Δx趋于零时，趋于4x0. 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴该点为(1，3). (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴该点为(2，9). 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求切线的斜率f′(x0)； (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．　　 　直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为______，切点坐标为______． 解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 因为y′＝ lim ＝3x2－2x， 则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1， 解得x0＝1或x0＝－. 当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1， 又(x0，y0)在直线y＝x＋a上， 将x0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x0＝－时， y0＝－＋1＝， 则切点坐标为， 将代入直线y＝x＋a中得a＝. 答案：　 题型三　导数几何意义的综合应用 [例 3]　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，直线l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． 解：∵ ＝＝Δx＋3， ∴当Δx趋于0时，趋于3，∴f′(1)＝3， 即直线l1的斜率为3. 所以直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)， 当Δx趋于0时， 趋于2b＋1， 所以直线l2的斜率为2b＋1. 因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－. 所以直线l2的方程为y＝－x－. 由得 所以直线l1和l2的交点坐标为. l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，. 所以所求三角形的面积S＝××＝. 导数几何意义综合应用的解题策略 (1)与导数的几何意义相关的综合问题的解题关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.　　 　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵Δy＝f (x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1) ＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋2ax0－ 9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2. 当Δx趋于0时，趋于3x＋2ax0－9， 即f′(x0)＝3x＋2axo－9. ∴f′(x0)＝3－9－. 当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. ∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－＝－12.解得a＝±3. 又a<0，∴a＝－3. [课堂小结] 1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 3．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过在x0处的切线刻画： f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线斜率为正值，在x0附近曲线是上升的； f′(x0)<0说明曲线在x0处的切线斜率为负值，在x0附近曲线是下降的． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$