第2章 2.1 导数的概念（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 学习目标 素养要求 1.了解函数导数的概念．会求函数在某点处的导数． 2．理解导数在实际问题中的意义并能简单应用． 1.通过导数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求函数在某点处的导数及结合具体问题解释导数的实际意义，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的概念 [问题]　已知函数f(x)＝3x2＋2. (1)求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率． (2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？ 答：(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3 (Δx)2， ∴f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝12＋3Δx. (2)当Δx趋于0时，趋于常数12. ►知识填空 导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝． 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim_＝lim_． 备注：f′(x0)也称为当x趋于x0时，平均变化率的极限． 1．理解函数在某点处的导数 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　) 提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝lim ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C.9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析：选C　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确． 3．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________． 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，∴ ＝2a，∴a＝f′(1)＝1. 答案：1 4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是________． 解析：＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ∴当Δt趋于0时，趋于6，即s′(1)＝6， 故物体在第t＝1时的瞬时速度为6. 答案：6 题型一　求函数在某点处的导数 [例 1]　(1)函数y＝在x＝1处的导数为__________． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解析：(1)因为Δy＝－1， ＝＝， lim ＝， 所以y′|x＝1＝. 答案： (2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝lim ＝lim (6＋3Δx)＝6. 用导数定义求函数在某一点处导数的 三个步骤 　(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 　(2)求平均变化率＝； 　(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim .　　 　求函数y＝f(x)＝x＋在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝(1＋Δx)＋－ ＝Δx－1＋＝＝， ∴＝， 当Δx趋于0时，趋于0，∴f′(1)＝0. 题型二　求瞬时速度 [例 2]　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度． 解：Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22) ＝4.8Δt＋2(Δt)2，＝＝4.8＋2Δt， 当Δt→0时，趋于4.8，即s′(1.2)＝4.8， 故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s. 求瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t). (2)位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (3)求在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度. (4)求在t＝t0时的瞬时速度v＝lim .　　 1．(变结论)试求本例中物体在t0时的瞬时速度． 解：因为Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋t) ＝4Δt·t0＋2(Δt)2， ＝＝4t0＋2Δt. 所以当Δt趋于0时，趋于4t0，所以此物体在t0时的瞬时速度为4t0 m/s. 2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求t＝0到t＝2之间的平均速度． 解：(1)∵＝3－Δt， ∴当Δt趋于0时，趋于3， 所以物体的初速度为3. (2)∵＝－1－Δt， ∴当Δt趋于0时，趋于－1， 故物体在t＝2时的瞬时速度为－1. (3)＝＝1. 题型三　实际问题中导数的意义 [例 3]　下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据． 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24 显然，降雨量y(单位：mm)是时间t(单位：min)的函数，用y＝f(t)表示． (1)分别计算当t从0 min变到10 min，从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t)＝，求f′(40)并解释它的实际意义． 解：(1)当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0 mm变到10 mm，此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为＝＝1(mm/min). 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分钟降雨量为1 mm. 当t从50 min变到60 min时，降雨量y从22 mm变到24 mm， 此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 ＝ ＝0. 2(mm/min). 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分钟降雨量为0.2 mm. 1>0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大． (2)∵ ＝ ＝ ＝， ∴当Δt趋于0时， 趋于. 即f′(40)＝0.25(mm/min)， f′(40)表示当t＝40 min时，瞬时降雨强度为0.25mm/min. 函数在某点处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率，而瞬时变化率刻画的是函数在这一点处变化的快慢，导数可以描述事物的瞬时变化率，它在现实生活中有广泛的应用，如用导数来解决膨胀率、效率、GDP的增长率、瞬时速度等．　　 　某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t，求函数s＝3t在t＝3处的导数s′(3)，并解释它的实际意义． 解：当t从3变成3＋Δt时，函数值从3×3变成3(3＋Δt)，函数值s关于t的平均变化率为 ＝ ＝3(m/s). 当t趋于3，即Δt趋于0时，平均变化率趋于3， 所以s′(3)＝3 m/s. 它表示物体在t＝3时的瞬时变化率为3 m/s. [课堂小结] 1．利用导数定义求导数 (1)取极限前，要注意化简，保证使Δx趋于0时分母不为0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． 2．导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$