第2章 1 平均变化率与瞬时变化率（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 学习目标 素养要求 1.了解函数的平均变化率与在某一点的瞬时变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率的关系． 2．会求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率． 1.通过函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求平均变化率和瞬时变化率，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. [问题 1]　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ 答：＝＝4.05(m/s). [问题 2]　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ 答：＝＝－8.2(m/s). ►知识填空 函数的平均变化率 汈汈汈汈汈 定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝ 续表 实质 函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值，即＝ 作用 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢 (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝.　　 知识点二　瞬时变化率 [问题 1]　一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． 答：＝＝－6－3Δt. [问题 2]　当Δt趋近于0时问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ►知识填空 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． (1)平均变化率与瞬时变化率的关系 ①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． (2)“Δx趋于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　) (2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　) (3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2 (x2，f(x2))所在直线的斜率．(　　) (4)瞬时变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　　　　　　B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析：选B　∵x＝2，Δx＝0.1， ∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝f(2.1)－f(2) ＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 3．一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 解析：选B　＝＝－1＝－. 4．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是________m/s. 解析：Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2. 答案：2 数学　选择性必修第二册(BS) 第二章　导数及其应用 题型一　求平均变化率 [例 1]　已知函数“f(x)＝x＋”，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 　(1)求自变量的改变量x2－x1； 　(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 　(3)求平均变化率.　　 　函数y＝x2＋5在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　　B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析：选C　∵(1＋Δx)2＋5－(12＋5)＝2Δx＋Δx2， ∴＝2＋Δx，故选C. 题型二　求平均速度 [例 2]　已知某质点按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度． 解：(1)由题意可知Δt＝3， Δs＝s(3)－s(0)＝24，∴平均速度为＝＝8(m/s). (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， ∴平均速度为＝＝12(m/s). (1)物体的平均速度实质上是函数的平均变化率； (2)解答这类问题的关键是计算自变量和因变量的改变量．　　 　已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s＝f(t)＝gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒……各段时间内的平均速度(g＝9.8 m/s2). 解：设Δt＝(t＋d)－t指时间改变量， Δs＝f(t＋d)－f(t)指位移改变量． 则Δs＝f(t＋d)－f(t)＝g(t＋d)2－gt2＝gtd＋gd2， ＝＝＝gt＋gd， 所以t从3秒到3.1秒的平均速度 ＝29.89(m/s)； t从3秒到3.001秒的平均速度 ＝29.404 9(m/s)； t从3秒到3.0001秒的平均速度 ＝29.400 49(m/s). 题型三　估计瞬时变化率 [例 3]　10米高台跳水是世界锦标赛比赛项目之一，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t秒后运动员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2 ＋6.5t＋10，试确定t＝2秒时刻运动员的瞬时速度． 解：先求运动员在2秒到2.1秒(即t∈[2，2.1])的平均速度为 ＝＝＝ ＝＝－13.59. 将时间间隔每次缩短为前面的，计算相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的 改变量 (Δt)/s 高度的 改变量 (ΔH)/m 平均速度 /(m/s) 2 2.01 0.01 －0.131 49 －13.149 2 2.001 0.001 －0.013 104 9 －13.104 9 2 2.000 1 0. 000 1 －0.001 310 049 －13.100 49 2 2.000 01 0.000 01 －0.000 131 000 49 －13.100 049 2 … … … … 可以看出，当时间趋于t＝2 s时，平均速度趋于－13.1 m/s，因此，可以认为t＝2 s时，运动员的瞬时速度为－13.1 m/s. 求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．　　 　假设t秒后运动员相对于水面的高度H(t)＝－4.9t2＋4.9t＋10，且运动员在区间[0，t0]上的平均速度为0，试确定t0，并估计此时刻的瞬时速度． 解：由已知得＝ ＝ ＝－4.9t0＋4.9＝0. ∴t0＝1. 可以计算出相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的 改变量 (Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 /(m/s) 1 1.1 0.1 －0.539 －5.39 1 1.01 0.01 －0.049 49 －4.949 1 1.001 0. 001 －0.004 904 9 －4.904 9 1 1.000 1 0.000 1 －0.000 490 049 －4.900 49 1 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0＝1 s时，平均速度趋于－4.9 m/s，因此可估计运动员在t0＝1 s时的瞬时速度为－4.9 m/s. [课堂小结] 1．理解平均变化率要注意以下几点 (1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 2．对平均变化率与瞬时变化率的说明 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； 当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$