第1章 3.1 第1课时 等比数列的定义及通项公式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§3　等比数列 3．1　等比数列 第1课时　等比数列的定义及通项公式 学习目标 素养要求 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的判断与证明方法． 2．会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题． 1.借助等比数列概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过等比数列通项公式的求解与运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的定义 [问题]　观察下面几个数列： (1)1，，，，，…. (2)1，－1，1，－1，1，…. (3)，－1，2，－4，8，…. 上面几组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 答：都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． ►知识填空 等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示． 对等比数列定义的理解 (1)每一项与它的前一项的比值必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (2)等比数列中的任何一项均不能为零． (3)等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零．　　 知识点二　等比数列的通项公式 [问题]　给出等比数列{an}：1，3，9，27，81，…，请根据下列两种思路探求其通项公式： (1)根据等比数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累乘法能否求得{an}的通项公式？ (2)根据等比数列的定义，能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来？由此归纳{an}的通项公式． 答：(1){an}的递推公式是a1＝1，＝3(n≥2)，利用累乘法可得an＝3n-1. (2)由等比数列的定义：＝q，∴a2＝a1q；＝q，a3＝a2q＝a1q2，…，＝q，an＝an－1q＝…＝a1qn-1. ►知识填空 等比数列的通项公式 若首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0). [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列．(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　　) (3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　　) (4)若数列通项公式为an＝ ，则{an}是等比数列．(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4　　　　　　　　　　B．8 C．6 D．32 解析：选C　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6. 3.在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．5 解析：选A　设公比为q(q≠0且q≠1)， 由题知 得q4＝4，故q2＝2， 则a5＝a3q2＝2×2＝4，故选A. 4．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是______． 解析：设公比为q，则3a1q3＝a1q5－2a1q4. 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3. 答案：－1或3 题型一　等比数列通项公式的应用 [例 1]　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设首项为a1，公比为q. (1)法一：因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝2. 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4, q＝. 所以an＝a4qn-4＝2·()n-4＝2. (2)因为 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1， 所以32×＝1，即26-n＝20， 所以n＝6. (1)等比数列通项公式的求法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．　　 　在等比数列{an}中， (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； (2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q. 解：(1)因为a9＝a1·q8， 所以256·q8＝1，即q＝±. 当q＝时，a12＝a1·q11＝256×＝； 当q＝－时，a12＝a1·q11＝256×＝－. (2)a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72. 两式相除得q4＝＝4，所以q＝±. 题型二　等比数列的判定与证明 [例 2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)， 得a1＝(a1－1)，所以a1＝－， 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－，又a1＝－≠0， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [提醒]　不管用哪种方法判定等比数列都要先强调某一项不等于零．　　 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析：选C　{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1， 因为an＋bn＝0，所以{an＋bn)不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，因为＝·＝pq≠0，所以{an·bn)一定是等比数列，故选C. 2．在数列{an}中，若a1＝1，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋).证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：∵an＋1＝2an＋3， ∴＝＝＝2. 又a1＝1，∴a1＋3≠0， ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3＝4，公比为2的等比数列． [课堂小结] 1．等比数列的通项公式an＝a1qn-1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． 2．等比数列的判定或证明的主要方法是定义法，即＝q(与n无关的常数q≠0).需强调的是需指出某项不等于零． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$