第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习目标 素养要求 1.掌握等差数列前n项和的性质并能简单应用． 2．能利用等差数列的知识解决简单的实际问题． 1.通过等差数列前n项和性质的应用，提升数学运算的核心素养． 2．借助等差数列的知识解决实际问题，培养数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列前n项和的性质 [问题]　Sn是数列{2n－1}的前n项和． (1)判断数列是不是等差数列． (2)证明：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 答：设an＝2n－1，易知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． (1) Sn＝n2，∴＝n，即数列是等差数列． (2)证明：∵S3＝a1＋a2＋a3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋18. S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a4＋a5＋a6＋18， 故S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． ►知识填空 等差数列的前n项和常用的性质 1．等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列． 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， (1)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； (2)当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n＋1＝(2n＋1)an.(　　) (2)若等差数列{an}共有20项，则＝.(　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S5，S10，S15也成等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则数列{|an|}一定不是等差数列．(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　) A．12　　　　　　　　　　B．24 C．36 D．48 解析：选B　S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：选B　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列， 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 解析：由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3. 答案：3 题型一　等差数列前n项和性质的应用 [例 1]　(1)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________； (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解析：(1)＝＝＝＝＝＝. 答案： (2)法一：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110. 法二：设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 则 解得A＝－，B＝.故Sn＝－n2＋n， 所以S110＝－×1102＋×110＝－110. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　　 　在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　) A．9　　　　　　　　B．12 C．16 D．17 解析：选A　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9. 题型二　求数列{|an|}的前n项和 [例 2]　已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1·a2＝a，求数列{|an|}的前n项和． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a1，a2，a3分别为2，－1，－4， 不满足a1·a2＝a； 当an＝3n－7时，a1，a2，a3分别为－4，－1，2， 满足a1·a2＝a. 故|an|＝|3n－7|＝ 记数列{|an|}的前n项和为Sn， 当n＝1时，S1＝|a1|＝4； 当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 当n＝2时，满足此式． 综上，Sn＝ (1)对绝对值数列{|an|}出题时常常针对其前n项和，一般有两个方面：一是已知an；二是已知数列{an}的前n项和Sn. (2)对于这类数列的求和问题，一是要弄清{an}中哪此项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果．　　 　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解：因为等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4， 所以an＝13＋(n－1)×(－4)＝17－4n， 等差数列{an}的前n项和Sn＝13n＋×(－4)＝15n－2n2， 由an＝17－4n>0，得n<， a4 ＝17－16＝1，a5＝17－4×5＝－3， 因为Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 所以n≤4时，Tn＝Sn＝15n－2n2， n≥5时，Tn＝－Sn＋2S4＝2n2－15n＋56. 所以Tn＝ 题型三　等差数列前n项和的实际应用 [例 3]　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元). 应用等差数列解决实际问题的一般思路 　　 　《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何，”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　) A．30尺　　　　　　　　B．90尺 C．150尺 D．180尺 解析：选B　由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1， ∴S30＝＝90，即共织布90尺． [课堂小结] 1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 (1)Sn＝n2＋n； (2)＝n＋ . 2．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点． 3．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$