第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学习目标 素养要求 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的前n项和公式并能应用其解决前n项和及其最值等有关问题． 1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列的前n项和公式 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． [问题 1]　共有几层？图形的横截面是什么形状？ 答：六层；等腰梯形． [问题 2]　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ 答：(4＋9)×6＝78. [问题 3]　原来有多少根钢管？ 答：_×78＝39. [问题 4]　能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? 答：Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝an＋an－1＋…＋a1 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2 ＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝. ►知识填空 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝n(a1＋an) Sn＝na1＋n(n－1)d 知识点二　等差数列前n项和的函数性质与最值 ►知识填空 等差数列前n项和的函数性质与最值 1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数得Sn＝n2＋n. 2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． 知识点三　Sn与an的关系 [问题]　设Sn＝a1＋a2＋…＋an，若已知Sn，如何求an? 答：由Sn＝a1＋a2＋…＋an，① 得当n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1. ② ①－②得Sn－Sn－1＝an， 所以an＝ ►知识填空 数列{an}的前n项和Sn与an的关系 　an＝ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设Sn是{an}的前n项和，则an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N＋.(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝4，则{an}不是等差数列．(　　) (3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　) (4)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的一次函数.(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A．12　　　　　　　　B．13 C．14 D．15 解析：选B　∵S5＝＝5a3＝25， ∴a3＝5， ∴d＝a3－a2＝5－3＝2， ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13. 3．已知{an}的前n项和Sn＝，则a5的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B　a5＝S5－S4＝－＝－. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝3，则公差d＝________． 解析：由等差数列的前n项和公式可得 S3＝＝＝3， 解得a2＝1，故公差d＝a3－a2＝4－1＝3. 答案：3 题型一　等差数列前n项和的相关计算 [例 1]　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24, S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　 　B．2　 　C．4　 　D．8 (2)在等差数列{an}中， ①已知a3＝16，S20＝20，求S10； ②已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 解析：(1)选C　设公差为d， 则a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋d＝48， 联立得 ①×3－②得(21－15)d＝24，6d＝24，所以d＝4. (2)①设等差数列{an}的公差为d，则有 解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. ②因为Sn＝n×＋×＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以n＝12. a12＝＋(12－1)×＝－4. 等差数列前n项和的运算技巧 (1)列方程：此类运算涉及的基本量有a1，d，n，an，Sn，一般转化为关于a1，d，n的方程组，解出方程组后再求其他的基本量． (2)用性质：利用等差数列的性质简化运算，常用的性质如若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (3)当已知首项、末项和项数时，用Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn＝na1＋d较好．　　 　设等差数列{an}满足a1＝－11，a4＋a6＝－6. (1)求{an}的通项公式an； (2)设{an}的前n项和为Sn，求满足Sk ＝189成立的k值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－11，a4＋a6＝－6， 所以2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2. 所以an＝－11＋2(n－1)＝2n－13. (2)由(1)得Sn＝n2－12n. 由Sk＝189，得k2－12k＝189， 解得k＝21，k＝－9(舍)，所以k＝21. 题型二　an与Sn的关系及其应用 [例 2]　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2－3－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2－3－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 由Sn求通项公式an的步骤 　第一步：令n＝1，则a1＝S1，求得a1； 　第二步：令n≥2，则an＝Sn－Sn－1； 　第三步：验证a1与an的关系： 　①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1； 　②若a1不适合an，则an＝ 　　 1．(变条件)本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1， 又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋3， 经验证当n＝1时，上式不符合， 故an＝ (2)不是等差数列． ∵a2－a1＝－6≠a3－a2＝－4，故{an}不是等差数列． 题型三　等差数列前n项和的最值 [例 3]　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． 解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一：∵a1＝9，d＝－2， ∴Sn＝9n＋·(－2) ＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0， ∴{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. ∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴S5最大． 即n＝5时，Sn取得最大值． 求等差数列前n项和的最值问题的两种方法 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最大值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最小值的n可由不等式组确定． (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.　　 1．(变条件)若本例中条件变为“等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11”，则n＝________时，Sn取得最大值． 解析：法一：S3＝S11， 所以其对称轴为n＝＝7，知n＝7时Sn取最大值． 法二：因为S3＝S11， 所以a4＋a5＋…＋a11＝4(a7＋a8)＝0， 又a1＝13>0，故a7>0，a8<0，所以n＝7时，Sn取得最大值． 答案：7 2．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为________． 解析：法一：对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N＋满足解得n＝20.即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 法二：同解法一可得公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，则n＝1时，a1＝39，所以Sn＝n2＋n＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，即当n＝20时，Sn取得最大值，从而满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 答案：20 [课堂小结] 1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用． 3．由Sn与an的关系求an，主要使用公式 an＝ 4．求等差数列前n项和最值的两种常用方法． (1)二次函数法； (2)通项公式法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$